MAKALELER

NOT: Eğer sizde okuduğunuz ve beğendiğiniz bir makaleyi göndermek isterseniz 'kişisel sayfam''dan 'site yöneticisine veri gönder' bölümünü kullanabilirsiniz.(bunun için üye olmanız gereklidir.)

Matematik Gözüyle Dünya Dışı Yaşam

İlk bölümde, Evrende başka canlı varlık olup olmadığı, radyo aracılığıyla saptayabileceğimiz sinyaller yoluyla bizimle iletişim kurabilmelerinin mümkün olup olmadığını
F. Drake’nin ortaya attığı denklemin değişkenlerini inceleyerek sonuca varmaya çalışacağız.
İkinci bölümde ise Matematikçi J. A. Paulos’un Dünya dışı ziyaretlerin neden mümkün
olmadığına dair düşüncelerini sunacağız.

F. Drake’nin Denklemi

ABD’li gökbilimci Frank Drake’in 1961 yılında, Evren’de akıllı varlıkların bulunma olasılığı konusunda geliştirdiği denklem, bugün bile geçerliliğini koruyor. O yıllarda büyük bir iyimserlikle yapılan çalışmalar, aradan geçen bunca yıl süresince bilgi dağarcığımızdaki muazzam genişleme, denklemin parametrelerini de etkiledi. Radyo-teleskop aygıtlarında, sinyal zaptetme tekniklerinde 60’lı yılların başından bu yana kaydedilen akıl almaz ilerlemere karşın, Dünya Dışı Akıllı Varlıklar Araştırması (SETI) projesi çalışmaları hala bir sonuç vermiş değil. Böyle olunca da ilk baştaki iyimserlik yerini giderek bir karamsarlığa bıraktı.

Drake, aralarında Carl Sagan’ın da bulunduğu gökbilimciler, radyo teknisyenleri ve biyologlardan oluşan 10 kişilik bir ekibi akıllı varlıklar arayışı için toplantıya çağırdığı sıralarda geliştirdiği denkleminde uygulama alanı olarak yalnızca kendi gökadamızı, yani samanyolunu belirlemişti. Denklem şöyleydi:

N = R x fp x ne x fl x fi x fc x L

Samanyolundaki uygarlıkların sayısı olarak tanımlanan N, bir dizi bilinmeyenin çarpımı olarak ortaya çıkıyor. Burada R, Samanyolu içinde her yıl kaç yıldız oluştuğunu gösteriyor. Yani yıllık yıldız oluşum hızı da diyebiliriz. fp, bu yıldızlar içinde gezegen sistemlerine sahip olanların oranı, ne ise, tipik bir güneş sistemi içinde Dünya benzeri gezegenlerin ortalama sayısı. fl, bu gezegenler arasında üzerinde yaşam ortaya çıkanların oranı. fi, yaşama sahip gezegenler arasında biyolojik evrimin akıllı bir tür ortaya çıkardıklarının oranı. fc, bu türler arasında yıldızlararası radyo haberleşmesi yapabilecek ölçüde gelişmiş olanların oranı. Nihayet L de bu yetiye sahip bir uygarlığın ortalama yaşam süresi.

Drake denkleminin çekiciliği, olağanüstü güzelliğinde yatıyor. Denklem büyük bir bilinmeyeni, daha küçük, cevaplanması daha kolay sorulara bölerek Dünya dışı uygarlıklar için başlatılan arayışı hem daha gerçekçi, hem de daha umut verici platforma oluşturuyor. Bu denklem, SETI projesine de somut bir çerçeve kazandırdı. Denklemin parametrelerini tek tek inceleyerek, sonuca ulaşmaya çalışalım.

R ; Samanyolu’nda her yıl kaç yeni yıldız oluştuğu konusunda görüşler farklı. Son yıllarda bu sayının 10 olduğu konusunda önermeler olsa da, çoğunluğun kabul ettiği gibi yılda ortalama bir yıldız oluştuğunu kabul edelim.

fp ; Yıldızların gezegen sahibi olanların sayısına gelince, M. Mayor - D. Queloz ve G. Marcy – R. Paul Butler tarafından iki ayrı ekibin yaptığı araştırmalar sonucu, 200 tek yıldızı kapsayan bir grup üzerinde yapılan gözlemler sonucu 10 gezegen bulunmuştur. Bu durumda fp=0.05 oluyor. Ama burada dikkat edilecek husus, elimizdeki gözlem araçalarının şimdilik yalnızca, yıldızın neredeyse burnudun dibinde dönen dev gezegenleri ortaya çıkarabilmesi. Henüz bizim güneş sistemimizin eşlerini bulabilmiş değiliz.

ne ; Yaşama uygun dünya benzeri gezegenler arayışına giriştiğimizde iş biraz çatallaşıyor. Bunun için en azından kayalık bir gezegen ve sıvı durumunda su gerekli. Kendi Güneş sistemimizde, Dünya dışında Mars ve Jüpiter’in ayı Europa’nın da eskiden canlı barındırabilmiş olabileceğinden bahsediliyor. Ama öteki yıldızların çevresinde keşfedilen gezegenler, hiç de bizimkine benzemiyor. Olması gerekenden çok büyükler, bazıları Jüpiter’in birkaç katı. Üstelik yıldızlarına fazla yakınlar, bu da çok sıcak olmalarına neden oluyor. Zaten şimdiye kadar bulunan gezegenlerin en soğuğu da 80°C .

fl ; Yaşama uygun gezegenler arasında, üzerinde gerçekten de yaşamın geliştiği gezegenlerin sayısı konusunda bilim adamları geçmişe kıyasla daha iyimserler. Dünya daha birkaç milyon yıl yaşındayken (kozmolojik ölçekte gözaçıp kapayıncaya kadar) ortaya çıkan organizmaların fosilleri, en eski kaya örneklerinde bulundu. Bilimadamlarına göre bu, yaşamın güç koşullarda bile oluştuğunun bir kanıtı. Yaşam, koşulların ortaya çıktığı her yerde ortaya çıkabiliyorsa, fl gerçekten 1 olmalı.

fi ; Dünya dışında akıllı varlıkların ortaya çıkma olasılığı. Dünyada akıllı varlıkların 4 milyar yıl sonra ortaya çıkmaları hakkında, iyimserler ve kötümserler (gerçekçiler) diyebileceğimiz iki farklı görüşe sahip grubun düşünceleri zıttır. Gerçekçilere göre, başlı başına bu uzun süre, akıllı bir yaşamın bir oldu bitti olarak kabul edilmesine engel. İyimserlere göre ise, bu süre, Evren’de başka akıllı varlıklar olabileceğinin en inandırıcı kanıtı. Bu görüşe göre, Güneş kırmızı bir dev haline gelip, Dünya’yı yutmaya başlamadan öncedaha en az bir milyar vaktimiz var. Bu süre, ilk sürüngenlerin denizden çıkıp karaya yayılmaya başlamaları için geçen sürenin iki katından fazla. “O halde” diyor iyimserler, “insanların kurduğu bir uygarlık yok olsa bile, sıfırdan başlayıp teknolojiye erişecek daha bir kaç tur uygarlık için bol bol zaman var.” Kötümser-gerçekçi taraf şöyle karşılık veriyor. “Diyelim yeni uygarlık için zaman var. Dünya ikliminin böyle ılıman kalacağını kim söylüyor?” Dolayısıyla fi değişkeni için yapılan önermeler radikal uçlarda kalıyor. Ama tartışmaya son bilimsel verilerle bakacak olursak ibre kötümserlerin tarafın, değişkenin değeri de sıfıra kayıyor. Harvard Üniversitesi paleontologlarından Stephen Jay Gould, “varlığımızı büyük ölçüde mutlu tesadüflere borçluyuz” diyor. Yaşamımızı ve aklımızı kimsenin bilemeyeceği bir takım rastlantılara borçlu olduğumuz açık.

fc ; Yıldızlararası radyo haberleşmesi yapabilecek ölçüde gelişmiş olanların oranı. Varsayalım, Dünya dışı uygarlıklar, sayıları fazla olmamakla birlikte gerçekten var. SETI taraftarlarına göre, her teknolojik uygarlık, radya dalgalarının büyük astronomik mesafeleri aşabilmek için çok uygun bir araç olduğunu farkedecek ve bu olanağı kullanmak isteyecektir. Ancak bu varsayımın da gerçekliği tartışmaya açıktır.

L, uygarlıkların yaşam süresi. Denklemin fi ve fc değişkenlerine uzlaşabildiğimiz bir değer bulamadık. Uygarlıkların yaşam süresi hakkındaki savaş burada da devam ediyor. İyimserler göre, kararlı, akıllı bir uygarlığın, sonsuza kadar olmasa bile on milyonlarca yıl ayakta kalmaması için bir neden yok. Bu tablo, Drake’in orijinal denkleminin karşı karşıya kaldığı darboğazların etkilerini götürebilcek gibi görünüyor. Buna karşılık kötümserler de şuna işaret ediyor: İnsanlık radya haberleşmesini yalnızca birkaç on yıl önce buldu. Ve o zamandan bu yana da teknolojik savaş ya da çevre kirlenmesi nedeniyle kendi kendini yoketme noktalarına geldi.

Her geçen gün yalnızlık hissi artan insanların, koca evrende kendilerinden başka kimsenin olmadığını kabullenmesi kuşkusuz mümkün değil. Ama evren de herhalde kendini bizim umut ve beklentilerimize göre ayarlıyor değil. Sonucu şimdilik kesin olarak bilemiyoruz. Belki de gerçekten Dünya dışı uygarlıklar bir yerlerde var ve kendilerini radyo dalgaları yoluyla tanıtmaya uğraşıyorlar. Ama bütün bunların ışığında, bu uygarlıkların sayısının herhalde pek fazla olmadığını söyleyebiliriz. Zaten bu ünlü denklemin ortaya atan Drake bile eskisi kadar iddialı değil. İtalya’nın Capri tatil kentinde 1996 yılında yapılan biyoastronomi kongresinde, Drake “Belki de aşırı iyimser bakmış olabilirim her şeye, başarının garanti olduğunu söyleyemeyiz” diyordu.

Dünya Dışından Ziyaret Olamaz

John Allen Paulos, Herkes İçin Matematik adlı kitabında, dünya dışı yaşama evet derken, UFO’larla gelen ziyaretçilere hayır demektedir. Aşağıda bu görüşünün nedenlerini bulacaksınız.

Dünya dışı ziyaretlerin olup olmadığı ile evrende başka bilinçli canlılar olup olmadığı ayrı bir sorudur. Eğer zeka dünya üzerinde doğal olarak geliştiyse, bu gelişmenin dünya dışında başka bir yerde de olmaması için bir neden yoktur. Bunun için gerekli olan yalnızca, birçok farklı bileşim oluşturabilme kapasitesine sahip fiziksel unsurlardan meydana gelmiş bir sistem ve sistemin içinde de bir enerji kaynağıdır. Enerji akımı, sistemi, sabit, karmaşık ve enerji depolayan küçük bir moleküller topluluğu oluşuncaya dek farklı olasılık kombinasyonlarını “keşfetmeye” iter ve bunu, proteinleri oluşturan bazı aminoasitler de dahil olmak üzere, daha karmaşık bileşenlerin kimyasal evrimi izler. Sonunda da ilkel yaşam gelişir.

Galaksimizde yaklaşık 100 milyar (1011) yıldız olduğu tahmin ediliyor. Bunlardan diyelim ki 1/10 ‘u bir gezegene sahip. Yaklaşık 10 mliyar yıldızdan belki yüzde biri yaşam bölgesinde bir gezegene sahip. Bu gezegen, kendi güneşinin yaşam kuşağı içinde, ama ona; eriyiğini, suyunu, metanını ya da başka bir unsurunu ne kaynatıp yok edecek kadar yakın, ne de donup katılaştıracak kadar uzakta durur. Şimdi galaksimizde, içinde yaşama olanak verecek yıldız sayısını 100 milyona (108) indirelim. Bunların çoğu bizim güneşimizden küçük olduğundan, bu yıldızların yalnızca 1/10’u gezegenlerinde yaşamın sürebileceği makul adaylar olarak görülmelidir. Yine de elimizde sadece bizim galaksimizde yaşamı sürdürebilme kapasitesine sahip 10 milyon (107) yıldız kalıyor. Bunalrın belki de 1/10’unda şu anda yaşam vardır. Gerçekten de galaksimizde yaşam içeren gezegenlere sahip 106 yani bir milyon yıldız olduğunu varsayalım. Peki niçin buna ililşkin hiçbir delil görmüyoruz?

Nedenlerden biri , galaksimizin yaklaşık 1014 ışık yılı hacme sahip, büyük bir yer olmasıdır ki, burada bir ışık yılı – ışığın bir yılda aldığı mesafe – saniyede 186000 mil – yaklaşık 6 trilyon mil’dir. Yani bu milyonlarca yıldızdan her biri, ortalama 1014 bölü 106 küp ışık yılı hacme sahiptir; bu, yaşama olanak sağladığı varsayılan her yıldız için 108 küp ışık yılı hacim anlamına gelir. 108 ‘in küp kökü yaklaşık 500’dür; bunun anlamı, galakside yaşama olanak veren herhangi bir yıldızla, aynı olanaklara sahip, ona en yakın başka bir yıldız arasındaki uzaklığın ortalama 500 ışık yılı olması demektir. Bu, dünyayla ay arasındaki mesafenin yaklaşık on milyar katı! Yakın “komşular” arasındaki mesafe, genel olarak ortalamanın altında olmasına rağmen, yine de sohbet etmek için sık sık birbirlerine uğramaya engel olduğu görülmektedir.

Çevrede küçük yeşil adamlar görmemizin oldukça olasılık dışı görülmesinin ikinci nedeniyse, olası medeniyetlerin zaman içinde dağılmış olmaları, bir süre var olduktan sonra yok olmaları olabilir. Aslında yaşam bir kez karmaşıklaştıksan sonra, içten içe sabit değildir ve birkaç binyıl içinde kendi kendini yok da edebilir. Bu tür gelişmiş yaşam şekillerinin ortalama 100 milyon yıllık bir ömürleri olsa dahi (ilk memelilerden, yirminci yüzyıldaki olası nükleer felakete kadar geçen süre), galaksimizin 12-15 milyar yıllık tarihine eşit şekilde dağılmışlarsa, galaksimizde herhangi bir zamanda gelişmiş yaşama olanak veren yıldız sayısı 10.000’in altına düşer ve böylece de komşular arasındaki ortalama mesafe 2.000 ışık yılının da üstüne sıçrar.

Şimdiye dek “dış turist”lerin ziyaretimize gelmemesinin üçüncü, galaksimizin içinde, birçok gezegende yaşam gelişmiş olsa bile, onların bizimle ilgilenme olasılıklarının düşük olmasıdır. Bu olası yaşam şekilleri, metan gazından oluşan büyük bulutlar ya da kendi kendini yönlendiren manyetik alanlar ya da bir patatesi andıran geniş alanlar ya da zamanını karmaşık senfoniler söyleyerek geçiren gezegen boyutundaki dev varlıklar olabilirler. Daha büyük bir olasılık ise, kayaların kendi güneşlerine bakan yüzlerine yapışık köpüksü tabakalar olmasıdır. Yukarıdaki örneklerden herhangi birinin bizim yaşamsal hedefimizi ya da psikolojimizi paylaşacağını ve bu dürtüyle bize ulaşmaya çalışacağını farz etmek için ise fazla neden yoktur.

Kısacası, galaksimizdeki diğer gezegenlerde muhtemelen yaşam olmasına karşın, UFO görüntüleri kesinlikle sadece “Tanımlanmamış Uçan Nesne” görüntüleridir. (Henüz tanımlanmamış, ama tanımlanması mümkün olmayan şeyler ya da tuhaf yaratıklar değil.)

Bilim ve Teknik Dergisi - Ocak 1999
"Herkes İçin Matematik" - John Allen Paulo

GERİ DÖN

BİLİMSEL VE İLGİNÇ KONULAR

SOĞUĞA NASIL ALIŞILIR?

Deri ve deri altı dokuda, dokuların beslenmesi için gerekenden daha çok kan damarı bulunur. Bu kan damarlarının, İkinci bir önemli görevi vardır: Genişleyip, daralarak deriye olan kan akımını ve böylece ısıyı etkilerler. Soğukta, damarlar tümüyle çekilir, deride daha zayıf bir kan akımı oluşur, bu da derinin, dışarıya daha az ısı vermesine neden olur. Sıcakta damarlar genişler ve büyük miktarlarda kan, deriye taşınır, böylece derinin dışarıya çok ısı vermesine yol açar.

Derideki kan damarlarının, ısı değişimine tepki gösterme yeteneği antrenmanlarla artabilir. Örneğin, değişmeli banyolarla ya da sporla her türlü hava, koşullarına vücudu alıştırmak gibi. Bu yolla, organizma “alışma” ya sevk edilir, yani kendini soğuğa karşı koruyabilir.

Derinin, ısı değişimine tepki gösterme yeteneği, kolaylıkla gözlenebilir. Zayıf kanlanmada deri rengi soluk, güçlü kan dolaşımında ise canlı pembelikte olacaktır.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 174'den alınmıştır.

NEDEN AY'IN HEP AYNI YÜZÜNÜ GÖRÜYORUZ?

Ay in kendi ekseni etrafında dönüşü ile Dünya çevresindeki dönüşü eşit zamanda olmaktadır: 27,32 gün. Kombine (bileşik) dönüş diye de anılan ve Dünya ile Ay arasındaki karşılıklı kütle çekişinln (gravitasyon) sonucu olan bu dönüş nedeniyle, Ay Dünya’ya hep aynı yüzüyle yönelik kalır.

Oysa, farkına varılabilecek az bir sapma olmaktadır. Ay yörüngesi tam bir çember olmayıp elipse benzer. Ay, Dünya’ya yaklaşınca daha hızlı, uzaklaşınca daha yavaş hareket eder. Dönüş her zaman eşit olduğundan Ay’ın sağ (veya sol) kenarına bakılıyor olur. Bundan başka Ay’ın dönme ekseni de, yörüngesine dik değildir. Bu nedenle, Dünya, Ay’ın bazen Kuzey (veya güney) kutbuna doğru hafifçe yönelik durumdadır. Bu, eksendeki eğilme nedeniyle, bir Ay dolanımı içinde, yerden Ay’ın yüzünün, yaklaşık yüzde 60’ı görülür.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 174'den alınmıştır.

JET UÇAKLARI NEDEN ÇOK HIZLI İNİYOR GİBİ GÖRÜNÜR?

Jet uçakları, saatte 230 ile 280 km. arasında bir hızla inişe geçer. Bu yavaş uçuş sırasında, kanatların yükseltme etkisi az değildir; ancak, bu modern kanatlarda çok büyük iniş takımları vardır. Bunlar, kanat yüzeyini arttırır, kanadı kubbemsi duruma getirirler; bu kubbe arasında bir yarık oluşur. Bu yarıktan geçen havanın, hızı kesmekte ve dengeli inişte büyük payı vardır. Diğer taraftan, iniş takımlarıyla eş zamanlı olarak çalışması gereken motorlar, beraberce oldukça büyük bir hava drenci yaratırlar. Motorlar çalışır, ancak “tamgaz” durumunda değildir. Nedeni: uçağın yükselmesi gerektiği takdirde, yedek güç bulunması içindir.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 174'den alınmıştır.

Likenler hava kirliliğini ölçüyor.?

İngiltere’de hava kirliliği ile savaş sonuç verdi, 1960 dan beri havadaki duman % 80 ve SO₂ % 50 azaltılmış bulunuyor. Londra’da havadaki SO₂ 200-250 mg/m³ den 130 mg/m³’e düştü. Bunun sonucu olarak Londra ağaçları üzerinde yine likenler görülmeye başlandı. Likenler özellikle havadaki SO₂ miktarından çok etkilenirler ve bu nedenle hava kirliliğini ölçmede kullanılırlar. 1800 ile 1970 yılları arasında hava kirliliği nedeniyle Londra’da Trafalgar meydanı etrafındaki 16 km. lik bir alanda 129 tür liken tamamen kaybolmuştur.

Not: Bu yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 174'den alınmıştır.

DEĞERLİ TAŞLAR VE İNSANLAR

İnsanlar binlerce yıl değerli taşların kristal yapılarında ve çarpıcı renklerinde gizli güçler olduğuna inanmışlardır. Örneğin san yakutun kalp ve beyni kuvvetlendirdiğine. sinirleri yatıştırdığına Turmalin‘in kişiyi yaralanmaktan koruduğuna, elmasın insana güzel konuşma yeteneği kazandırdığına inanılırdı. Oysa bu taşların kristal yapılan kadar çarpıcı renkleri de sihrin değil basit doğa olaylarının sonucudur. Bu değerli taşlar üzerindeki menekşe ve erguvani renklerden demir mangan ve titan elementleri sorumludur. Çevredeki radyoaktif kitle veya minerallerden radyasyon yayılıyorsa, bu Turmalin renkler daha da çarpıcı bir parlaklık kazanır. Mavi renkli safire demir ve titan metalleri renk verirken, gül renkli kuvars‘ta renk maddesi olarak sadece mangan görev yapmaktadır. Kırmızı yakut, rengini kromdan almaktadır. Yeşil renk kromun farklı iyonlaşma göstermesi sonucu ortaya çıkmaktadır. Renk veren bu metalleri içermeyen elmas ve neceftaşı ise saydam kristaller halindedir.

İnsanoğlunu büyüleyen renklerinin nasıl oluştuğunun öğrenilmesine rağmen bu taşların önünde hala eğilinmektedir. Fakat eskiye göre bugünkü amaç oldukça farklıdır.

Eski çağlarda insanlar bu taşları kutsal bir tanrı veya hayvan şekline benzeterek onları büyülü kabul ederlerdi. Daha sonra gökkuşağındaki yedi rengin kristal yapıdaki bu taşlarda görülmesiyle, gezegenler ve taşlar arasında sihirli bir ilişki olduğu iddia edildi. Örneğin kırmızı rengin Marsla, yeşil rengin Merkürle ilişkili olduğu ileri sürüldü. “Hindu ‘felsefesine göre yeryüzüne bu gezegenlerden gelen kozmik parıltılar, tüm insanların varlığına ve yaşantısına etki etmektedir. Oysa kristal yapıda bu yedi rengin parıldaması “prizmadan geçen güneş ışınlarının tayflara ayrılması" şeklinde açıklanabilecek basit bir fizik olayıdır.

Turkuaz (firuze)ın kola ve parmağa takıldıktan sonra zamanla renk değiştirmesi, bu taş üzerinde peygamber kudreti olduğu şeklinde inanışlara yol açmıştır. Oysa bu taş çok gözenekli bir yapıya sahiptir. Ciltte biraz yağ ve asit olduğu zaman, bu maddeler taşın gözeneklerinden içeriye girerek onun kimyasal yapısını değiştirir. Bunun sonucu taşın yeşil rengi maviye dönüşür. Bu yüzden eller sabunla yıkanmadan önce turkuaz yüzükler parmaktan çıkarılmalıdır.

Buna benzer bir yapı da opal ‘da görülür. Opal ‘in her bakış açısından farklı renkte görünmesi Ortaçağ ‘da bu taşa "şeytan icadı" denilmesine yol açmıştır. Bu nedenle İngiltere ‘de Kral Edward VII bu taşı çevresinden uzaklaştırmış, Rusya ‘da ise son Çar, bu taşların taşınmasını yasaklamıştır. Opale mikroskopta 40 bin kez büyütülerek bakıldığında bunun düzensiz yerleşmiş silikasit küreciklerinden meydana geldiği görülür. Opele düşen ışınlar, bu küreciklerde ilgili olarak düzensiz dağılım ve yansımalar yapar. Bu nedenle opal her bakış açısından farklı bir renkte görünür.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 222'den alınmıştır.

HANGİ GÖZÜNÜZ DAHA BASKIN?

Hepimiz hangi elimizi daha çok kullandığımızı biliriz. Ama tıpkı ellerimiz gibi çene, kulak ve gözlerimizin de baskın tarafı olduğunu biliyor muydunuz. Vücudumuzun daha çok kullandığımız el tarafında olan organları da daha baskındır. Örneğin sağ elini daha çok kullanan kişi, çoğunlukla çiğneme işlevinde ağzının sağ tarafını, dinlerken de sağ kulağını kullanır.

Gözler ise bir ayrıcalık oluşturur. İki gözün de görme alanı beynin beynin her iki emisferi tarafından analiz edilir. Sağ emisfer bir gözün görme alanı bilgilerini sol emisferden alır ya da tam tersi olur. Bu iş bölümüne karşın, yine de bir gözümüzün tarafını daha çok tutarız. Fotograf makinasının vizörüne, mikrodkoba ve teleskoba işte bu gözümüzle bakarız.

Eğer hangi gözünüzün baskın olduğundan emin değilseniz, işte size bir test:
Gözlerinizi uzaktaki belirli bir cisme odaklayın, başparmağınızı o cisimle aynı hizaya getirin. sırayla gözlerinizin birisini kapatıp diğeri ile bakın. hangi gözünüz ile az önceki cisimle baş parmağınızı üst üste görüyorsanız baskın gözünüz odur.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 174'den alınmıştır.

DÜNYANIN YÖRÜNGESİ

Dünya güneş çevresinde dönerken öyle bir yörünge çizer ki her 18 milde doğru bir çizgiden ancak 2.8 mm. ayrılır. Dünyanın çizdiği bu yörünge kıl payı şaşmaz, çünkü örneğin yörüngeden 3 mm. Iik bir sapma bile büyük felaketler doğururdu: Sapma 2.8 mm yerine 2.5 mm. olsaydı yörünge çok geniş olurdu ve hepimiz donardık, sapma 3.1 mm. olsaydı hepimiz kavrularak ölürdük.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 188'den alınmıştır.

PARMAKLARIMIZ NEDEN ÇITIRDAR?

Bazı insanlar parmaklarını çıtırdatır. Bu ses, sanıldığı gibi kemiklerin birbirine çarpmasından doğmaz. Eklemleri yağlayan sıvının ‘içinde küçük gaz kabarcıkları bulunuyor. Parmaklar çekilince veya herhangi bir eklem yavaşça düzleştirilince sıvı basıncı azalır ve hava kabarcıkları patlayarak “çıtlama” sesi oluşturur. Bu sesin tekrar oluşması için bir süre beklemek gerekir, çünkü yağlayıcı sıvı ‘içinde yeni hava kabarcıkları oluşması zaman alır.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 188'den alınmıştır.

DENİZ SUYU NİÇİN TUZLUDUR?

Deniz suyunun ortalama tuzluluk derecesi ağırlığa oranla % 3.5’dir. Bu, 1 mil’ suda yaklaşık 186 milyon ton tuzun bulunması demektir. Kabaca bir hesapla, Okyanuslardaki tuz miktarının, kıtaların 152300 m. kalınlığında bir tuz tabakasıyla kaplanmasına yeteceğini söyleyebiliriz. Doğal olarak oluşan elementlerin hemen hepsine deniz suyunda rastlanılır, sıcak deniz tuzunun % 85’inden fazlası, sodyum klorür, başka bir deyişle sofra tuzundan oluşur.

Nehirler tarafından taşınan sodyum gibi mineraller toprak ve kayaların aşınması sonucu ortaya çıkan eriyik ve süspansiyonlardan oluşur. Fakat klor ve bor gibi diğer elementlerin varlığı, nehirlerin getirdikleri ile açıklanamamakta, dolayısıyla bu oluşumda diğer süreçlerin de rol oynadığı akla gelmektedir.

Yeryüzü tarihinin ilk dönemlerinde yerkabuğu ile yer merkezi arasında kalan katmanın zehirli gazlardan arınması sırasında diğer maddelerin yanı sıra su ve klor da yerkabuğunun altındaki erimiş volkanik kayaların arasında ortaya çıkmış olabilir. Günümüzde volkanik etkinlikler sonucu atmosfere yayılan elementler okyanuslara, yağmur ve kar yağışlarıyla taşınmaktadır. öte yandan deniz hayvanları öldüklerinde de, iskeletleri ayrışarak mineralleri denize geri verirler.

Elementler denizlere sürekli olarak aktarılınca, denizler giderek daha da tuzlulaşmaz mı? Gerçekte, deniz suyundaki tuz miktarında, yüz milyonlarca yıldan bu yana önemli bir değişme olmamıştır. Çözünmüş maddelerin miktarları zamana ve yere göre değişmekle birlikte, belli başlı, elementlerin okyanuslarda her zaman, hemen hemen aynı yoğunlukta bulunduğu kabul ediliyor.

Okyanus elementlerin, bir yandan hemen hemen tam dengeyi koruyacak oranlarda suya eklenip, diğer yandan sürekli olarak nakledildiği bir tanka benzetilebilir. Örneğin, elementlerden bazıları kayalarla birleşir, toprak tarafından emilir ve çözeltiden ayrılarak çökelti haline gelirler. Deniz bitkileri ve hayvanları da bunları kullanarak büyür ve gelişirler.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 188'den alınmıştır.

SABUN NASIL TEMİZLER?

Sabunun gizi su ve yağ molekülleri arasında, normalde birbirinden kaçan bu maddeleri karışmaya zorlayan aracılık yeteneğindedir.

Elimizi yalnızca suyla yıkadığımızda, derinin üzerindeki yağ, suyu, elimizi ıslatmadan dağıtır. Bundan dolayı temizlik sağlanmaz. Ancak sabun bu durumu değiştirir çünkü, sabun molekülünün bir ucu yağ molekülünü diğer ucu da su molekülünü çeker. Ellerimizi birbirine sürterek ovuşturduğumuzda, normalde su ile karışmayan yağ ve kirleri küçük parçacıklara böleriz. Ama devreye girdiğinde sabun molekülleri, lekeleri sarar ve kirleri suya çeker. Böylece bağlanırlar, parçacıklar artık çözünmezler, kolayca durulanarak uzaklaştırılmaya yetecek süre kadar su ile karışmış olarak kalırlar.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 179'den alınmıştır.

YAPIŞTIRMA NASIL OLUR?

Yapıştırıcılar, yapıştırılacak şeyleri nasıl birleştirebiliyorlar hiç düşündünüz mü?

Kırık bir çay fincanını onarmak için kullanacağınız tutkalın ya kimyasal bir bağlantıyla ya da mekanik bir kenetlenmeyle görevi üstlendiğini düşünebilirsiniz. Bunların da bir rol oynamasına rağmen yapıştırma işleminin asıl nedeni şudur:

İki madde birbirine yeterince yakınsa, yapışırlar. Yapışma, moleküllerin birbirine çok yakın olması dolayısıyla aralarında doğan evrensel çekimden ileri gelir.

Bu çekim kuvvetleri (bir Hollandalı fizikçinin önermesinden kaynaklandığı için, adına ‘Van der Waals” kuvvetleri denmiştir) atom çekirdeği, çevresindeki elektron düzeninden oluşur. Her ne kadar elektronlar simetrik yörüngelerde dönseler bile, herhangi bir anda elektrik yükleri dengeli dağılmış değildir. Her atomun pozitif ve negatif yüklü kutupları vardır.

İşte Van der Waals kuvvetleri, farklı atomların karşıt kutupları arasındaki çekim gücünden oluşur. Tek tek düşünüldüğünde bu çekim kuvveti oldukça zayıftır. Ancak sayısız atomlar arasında bu çekim kuvvetleri birleşerek sözü edilen yapıştırma gücü ortaya çıkıyor.

O halde, neden yapıştırıcılara gerek duyuyoruz. Yapıştırılacak iki maddeyi birbirlerine iyice sıkıştırırsak Van der Waals kuvvetleri bu maddeleri bir arada tutacak gücü oluşturamazmıydı?

Hayır, genellikle oluşmaz. Nedeni de iki cismin yüzeylerindeki moleküllerin arasındaki uzaklığın birkaç angstrom’u geçmemesi gerekir, ancak o zaman Van der Waals kuvvetleri etkili olur. 1 Angstrom ise 1 metrenin yalnızca 10 milyarda biridir. Oysa, yüzeyi pürüzsüz addedilen bir cismin bile yüzeyinde, en azından 400 Angstrom’luk tepeler vardır. Bu durumda yüzeyler birbirinin aynı olsa da yine moleküller arasında yeterli yakınlık sağlanamaz.

Yapıştırıcı, her iki yüzeyde bulunan moleküller arasında bir bağ oluşturarak onları bir arada tutar. Geniş ve yakın bir bağlantı için en iyi yapıştırıcılar sıvı olanlardır. Yapıştırıcının katılaştığında kolay kolay kopmayacak bir malzeme olması da gereklidir.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 183'den alınmıştır.

KARINCALARIN GARİP İŞBİRLİĞİ

Bir parça peynirin etrafında birçok karınca görürsünüz ve peynir yuvaya doğru hareket eder. Fakat gerçekte karıncaların bir bölümünün yaptığını diğer bir bölümü engellemektedir. Bir peynir parçasının etrafını çevirmiş karıncaların çekme yönleri farklıdır. Karıncalar peynir parçasını birbirine karşıt yönlere çekmektedir. Yine de öne ve sola çekenler ağır bastığından peynir parçası öne ve sola doğru hareket eder. Bunu şöyle kanıtlarsınız: Bir bıçakla arkasındaki karıncaları ayırın, parça çok daha hızla öne gitmeye başlar, böylece parçanın arkasındaki karıncaların parçayı itmeyip karşıt yönde çektikleri anlaşılmış olur. Karıncaların bu garip “işbirliği” sonucu dört karıncanın çekebileceği bir parçayı yirmi beş karınca taşır.

Not: Yazı, Bilim ve Teknik dergisi sayı 182'den alınmıştır

GERİ DÖN

GEOMETRİ'nin Kısa Tarihi

Bilim adamları ve öğretmenler meslek olarak seçtikleri alanın geçmişine yönelik genel kültüre sahipseler kendilerini daha yetkin hissederler, daha öz güvenli olurlar; araştırma ve öğretimde daha faydalı olacakları gibi gelecekte yapılabilecekleri de daha kolay sezmeğe ve görmeye başlarlar. Bu nedenle konuşmamın ilk kısmını bu konuya ayırdım. Bilindiği gibi bilim tarihi içinde matematiksel gelişmelerin yeri ve önemi çok büyüktür. Matematiğin orijininde de iki temel alan vardır: ARİTMETİK ve GEOMETRİ. Burada tarih boyunca geometrideki buluş ve gelişmeleri kronolojik bilgilerden bir derleme biçiminde vereceğiz.

İnsanoğlunun dünyada oluşumu M.Ö. 2 000 000 lu yıllar olarak hesaplanmakta ve kabullenilmektedir. İlk insanların uzun asırlar, hatta uzun milleniumlar boyunca çok ilkel bir yaşam sürdürdükleri bilinmektedir. Ancak M.Ö 50 000 li yıllarda sayma belirtilerine rastlanmış izleyen milleniumlar içinde (M.Ö. 25 000 li yıllar) taşlara işlenmiş primitif geometrik şekiller tespit edilmiştir. (Bu dönemin tarihte Kaba Taş Çağı olduğunu hatırlayalım!). Daha sonra tarım sayesinde yerleşik yaşam yaygınlaşıyor, Maden Çağında (M.Ö. 4000 li yıllar) ilerleme ve medenileşme sürüyor. Gerçek gelişme yazının ve rakamların icadı (Mezapotamya da M.Ö. 3000 ler) ile oluyor. Mezapotamya da SÜMERLER, onları izleyen BABİL ve AKADLAR (M.Ö. 3500-2000 periyodunda) geometri adına şunları biliyorlardı:

Üçgen ve çokgenlerin ALANLARININ hesaplanması

Pisagor Teoremi (M.Ö. 1600-1900 arasında yazılan Plimpton tabletinde Pisagor üçlülerini kapsayan tablolar var. İspata rastlanmasa bile Pisagordan en az bin yıl önce bu teoremi biliyorlardı.)

Bir çok basit geometrik cismin hacmini veren formüller

Kesik kare piramidin hacmini veren formül

"Çapı gören çevre açı diktir" teoremi (Bu ifade de Thales Teoremi diye bilinir. Oysa Thales'den yaklaşık 1000 yıl önce biliniyor).

Ne Mezapotamyalılar ne de biraz sonra söz edeceğimiz eski Mısırlılar AÇININ ÖLÇÜLMESİNİ tam olarak geliştiremediler. Ancak yapı kirişlerinin eğimi hesabında KOTANJANTA benzer bir kavram geliştirmişlerdi. π yerine yaklaşık değerler kullanılıyordu.

Geometrinin orijinin Mısır olduğuna ilişkin yaygın fakat YANLIŞ bir kanaat (ve birçok kaynak!) vardır. Oysa Mısırdaki matematiksel gelişmeler, Mezapotamyadakileri yaklaşık 500 yıl sonradan izlemiştir. (Bu yanlış bilginin kaynağı Mezapotamyadaki BABİL TABLETLERİNİN şifrelerinin çok geç, ancak 130 yıl önce çözülmeye başlamasıdır). Mısırlılar bu kavramlar dışında

GEOMETRİK EŞLİK kavramını kullandılar

M.Ö. 2800 lerde BÜYÜK PİRAMİDİ inşa ettiler [kare piramidi, (taban çevresi/yükseklik)≈2π, Güneş ışınlarının hareketine göre şifreli iç yapısı gibi önemli özellikleri var].

İnsanoğlu yazının icadından hemen sonra tekerleği icat edince (M.Ö. 3000) ulaşım ve ticarette ulaşılan kolaylıkların sağladığı gelişmeler sayesinde π sayının varlığı ile karşılaştı. Çember, daire, kare, silindir gibi basit geometrik şekillerle ilgili olan bu harika sayı tamamen geometri orjinlidir. (r yarıçaplı çember için, π=çevre/2r=alan/r nin karesi). Π üzerinde Mezapotamyalılar, Mısırlılar, Çinliler, Hintliler, Helenler, ve hatta 1600 lü yıllardan itibaren bir çok büyük matematikçi uğraşmışlardır. İrrasyonelliği 1767 J. F. Lambert tarafından ve transandant bir sayı olduğu çok sonraları (1882 de Alman matematikçi F. Lindemann tarafından) ispatlanmıştır.

Geometrideki gelişmeler, daha sonra Batı Anadolu da devam etmektedir. Grek genişlemesi ile Mısır ve Mezapotamyadan öğrenilen bilgiler Miletli Tales (M.Ö. 595) ve hemşerisi Pisagor (M.Ö. 540) tarafından işlenmiş ve geliştirilmiştir. Tales ve Pisagor'un DEDAKTİF GEOMETRİ çalışmalarından hiçbir belge bugüne ulaşmamıştır. Ancak özellikle Pisagor öğrendiklerini ve bildiklerini bir çeşit okul kurarak skolarlarına aktarmıştır. Bu dönemde İSPATLI GEOMETRİye geçilmiştir. Daha sonra gelişmeler, Trakya, Mora yarımadası ve İtalya'ya yaygınlaştı. Cetvel ve Pergel yardımıyla;

Bir çemberinin alanına eşit alanlı kare çizmek

Açıyı üçe bölmek

Küpün hacmini iki katına büyütmek

gibi klasik problemler ve benzerleri bu dönemde (M.Ö. 4. asırda) çalışılmıştır. (bu problemlerin izleyen asırda cebirsel eğriler yardımıyla çözüldüğü biliniyor). Geometri o kadar önem kazanmıştı ki geometriye doğrudan hiçbir katkısı olmayan Plato kurduğu okulun kapısına BURAYA GEOMETRİ BİLMEYEN GİREMEZ yazısını koydurdu. Sonra Eudemus (M.Ö. 335) GEOMETRİ TARİHİni yazdı, Aristeaus (M.Ö. 320) KONİKLER konusunu ayrıntılı inceledi.

M.Ö. 323 de Büyük İskender'in ölümü ile üçe parçalanan Roma İmparatorluğunun Mısır kesiminde I. Ptolemi döneminde bilimin yeniden şahlanmasını sağlayan gelişmeler oldu. İskenderiye'de tamamen serbest eğitim veren okullar kuruldu. Öklid M.Ö. 300 lerde ELEMENTLER adlı eserleri yazdı. Bu eserler üzerine çok şey söylenebilir. Bugün bile ilköğretim ve liselerimizde okutulan bilgilerimizin hemen hemen tamamı bu eserlerde vardır. Tales, Pisagor ve Pisagoryanlarca ispat edilmiş geometrik ifadeler bu dönemde mükemmelleştirildi. Plato okulundan yetiştiği sanılan ve iyi bir yazar olan Öklid'in adı bu eserlerle yaşamaktadır. Daha sonra M.Ö. 140 da Hiperkus, ilk düzenli TRİGONOMETRİ eserini yazdı, Heron birinci yüzyılda bazı formüller geliştirdi ve geometriye dayalı birçok icatlar yaptı. Pappus M.S. 320 de Pappus teoremini de kapsayan KOLEKSİYONU yazdı. (Pappus teoremi altıgenlerle ilgili bir özellik olarak ispatlanıyor, ama bugün Projektif geometride önemli bir role sahip bir aksiyom olarak bile kullanılmaktadır).

1143 yılında ELEMENTLERin batı dillerine çevrildiği ve izleyen dönemlerde yavaş yavaş okullarda sistematik olarak okutulduğu görülüyor. 1635 de Cavalieri GEOMETRİ adlı eserini yayınlıyor, 1637 de Descartes ANALİTİK GEOMETRİyi keşfediyor. 1639 ve 1640 da sırayla Desargues ve Pascal bugün kendi adlarıyla bilinen teoremlerini de kapsayan eserlerini yayınlıyorlar. 1678 de Ceva TEOREMİnin ispatı veriliyor.

1670 de HİPERBOLİK GEOMETRİNİN ortaya atılışı, 1794 de Legendre'nin GEOMETRİNİN ELEMANLARI, 1801 de Gauss'un PARALELLİK kavramı üzerine çalışmaları, 1826 da Poncale ve Plucker'in geometride DUALLİK İLKESİ, 1827 de Mobius, Plucker ve Feurbach'ın HOMOGEN KOORDİNATLARI işleyişleri gerçekleşiyor.

1822 de Poncale'nin bugün kendi adıyla anılan teoremlerinide kapsayan DENEMELER adlı eseri yayınladı. Kazan üniversitesinden Lobacevski'nin 1829 da yayınlanan çalışmaları ve bu konuda daha önce aynı sonuçlara ulaştığı ve ispatlar anlaşılan Macar Bolyai'nin çalışmaları ile ÇOK PARALELLİ (=hiperbolik) GEOMETRİLERİN VARLIĞI görüldü.

1843 de 4-boyutlu uzayın vektör cebri ile ilgili olarak Hamilton KUATERNİYONLARI keşfedildi ki bu kavram bugün en ilginç ve somut (Dezargsel fakat Pappussel olmayan) projektif düzlemlerden birini inşa etmekte kullanılmaktadır.

Daha sonraki yıllarda ses getiren eserler olarak 1847 de Von staudt'un GEOMETRİ DER LAGE'si, 1854 de Riemann'ın HABITATIONSCHRIFT'i, 1872 de Klein'in yayınları ve son olarak 1889 da Hilbert'in GRUNDLAGEN DER GEOMETRİ'si görülüyor. Bu son eser çok önemlidir onun üzerine daha sonra konuşulacaktır.

Düzenli geometrik şekiller tarihsel olarak nerelerde görülmektedir sorusunu yanıtlayarak bu kısmı bitirelim: Gelişme ve medenileşmeye başlayan toplumlarda ilk düzgün geometrik şekiller, sırayla, tarla ve bağlar gibi bölünerek işlenen arazi parçalarında; tapınaklar, sinagoglar, katedral-kilise ve cami gibi toplu ibadet yerlerinde; su kanalları, köprüler, kervansaraylar gibi ulaşımla ilgili yapılarda; han, kral, padişah ve imparator sarayları, Türbeler, Firavun Mezarları ve şehir surları gibi yapılarda; ve günümüzde her türlü mimari eser ve çok sayıda modern teknik araçlarda görülmektedir.

Öklid Dışı (non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler

Kısalığı sağlamak için izleyen iki kısımda sadece düzlem geometri üzerinde durulacaktır. Öklid düzlemi yada kısaca düzlem denilince, herkesin anlayacağı bir dille söylersek, her doğrultuda sınırsız uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve doğrulardan oluşan düzlemde nokta ve doğrularla ilgili bazı ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. AKSİYOM denilen ve doğal olarak sağlandığı varsayılan bu ifadelerin ispatı (aşikar olduğundan) mümkün değildir. Geometri de kabullanilen aksiyomların SONUÇLARI incelenir. Öklid Düzleminin Aksiyomları EK-1 de verildiği gibidir.

Zaman içinde Öklid'in V. POSTULAT'ı Playfair aksiyomu adıyla daha kısa ve özlü olrak;düzlemde bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen bir tek paralel doğru çizilebilir biçiminde ifade edilmiştir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemediği, yani şüphe edildiği, içindir ki aksiyom olarak değil, postulat olarak ifade edilmiştir. Gerçekten de GAUSS da dahil bir çok büyük matematikçiler bu ifadeyi ispatlamaya çalışmışlardır. Ancak 1820 lerin sonunda Bolyai ve Lobacevski V. Postulatın diğer aksiyomların sonucu olmadığını; bu postulat dışındaki bazı Öklid Aksiyomlarıyla birlikte

H:Bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayıda) paralel doğru çizilebilir

ifadesi alınarak yeni bir geometri oluşturulabileceğini gösterdiler. Böylece hiperbolik geometri, dolayısıyla ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ kavramı ortaya çıktı. Öklid aksiyomlarını sağlayan bir tek düzlem varken Bolyai-Lobacevski aksiyomlarını gerçekleştiren bir çok reel model geliştirilmiştir. Bunların bir kaçını belirtelim:

Taksi Düzlemi

Klein Modeli

Maksimum Düzlem Modeli

Poincare Üst Yarı Düzlem Modeli

Poincare disk Modeli

......

Gaussve Riemann'ın çalışmaları ile hiperbolik geometrideki gelişmeleri değerlendirerek

P : Farklı iki doğru bir tek noktada kesişir

ifadesini ve bazı Öklid aksiyomları ele alınarak PROJEKTİF GEOMETRİ (ve genelde Eliptik Geometri) geliştirildi. Üstelik, sonsuz çoklukta projektif düzlem bulundu. Bugüne kadar bu konuda milyonlarca araştırma (makale), yüzlerce kitap yazıldı ve hala çözülmeyi bekleyen çok sayıda önemli problemler vardır. Böylece V. Postulat, H ve P nin hepsinin ayrı ayrı geçerli olduğu geometriler ortaya çıktı.

Öklid'in elementlerindeki aksiyomlarda var olan bazı belirsizlikler ve eksiklikler, uzun yıllar boyunca bilinmesine karşın, aynen kullanılmışlardır. Ancak Hilbert 1889 da çağının bilgileriyle Öklid düzlemin aksiyomlarını yeniden düzenlemiştir. GRUNDLAGEN DER GEOMETRİ adlı eserdeki bu aksiyom sistemi EK-2 de verilmiştir.

Artık Öklid düzlemi için, tüm matematik dünyasınca "mükemmel" olarak değerlendirilen bu aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi) geçerlidir denilebilir. Ancak 20. yüzyılda çağdaş matematik bilgileri göz önüne alınarak daha kısa ve daha rafine bir aksiyom sistemi oluşturulmuştur. F. Krause'nin TAXICAB GEOMETRY adlı kitabından aldığım ve son zamanlarda Öklid düzlem geometrisi (SMSG geometrisi dahil) işleyen birçok eser de kullanılan Birkhoff'un METRİK AKSİYOMLARININ bir modifikasyonu olan bu aksiyom sistemi EK-3 de verilmiştir.

Bu aksiyom sistemlerinin karlılaştırılmasını ilgilenenlere bırakarak konumuzu biraz değiştirelim.

3. Öklid Dışı Geometri Anlayışında Değişiklik

Tarihsel olarak, paralellik aksiyomunu sağlamayan her Geometri Öklid dışı bir geometri olarak bilinmektedir. Fakat artık Hilbert (veya eş anlamlı olarak Birkhoff) tarafından verilen aksiyomlardan "en az birini sağlamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir" anlayışı yerleşmiş bulunmaktadır. Örneğin, Taksi geometri, KRAUSE düzenlemesindeki paralellik aksiyomu dahil 12 aksiyomun hepsini sağlayan fakat sadece KAK:(Üçgenlerde Eşlik) Aksiyomunu sağlamayan bir geometridir. Dolayısıyla Öklidyen olmayan geometriler spektrumu oldukça büyük hale gelmiştir. Bu konuda daha başka örnekler, projektif, hiperbolik veya metrik geometrilerden kolaylıkla hemen verilebilir.

Geometri ve Öklid Dışı Geometrilerin Öğretimdeki Yeri ve Önemi

Olayların algılanmasında resim, fotoğraf, grafik gibi şekillerin önemi yadsınamaz. Bir anlamda şekil bilgisi de demek olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir şey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Okuttuğum bir çok derste öğrencilerime şunu tekrar tekrar söylüyorum: Matematikte hiçbir kavram yoktur ki uygun bir şekille anlatılamasın. Eğer bir konuyu iyi biliyorsanız onu uygun bir şekille açıklayabilirsiniz. Şekille açıklayamadığınız yani, geometrik yorumunu yapamadığınız bir konuyu iyi bilmiyorsunuz demektir. Dilerseniz bana bu konuda herhangi bir matematik kavramını sorabilir ve geometrik açıklama isteyebilirsiniz! Bu sebebledir ki son yirmi beş yıldaki tüm derslerimde anlattığım her konuda temsili şekiller çizmeği alışkanlık haline getirdim. Çünkü görmek anlamayı kolaylaştırır (İngilizce'de "anlıyorum" anlamında da "görüyorum" ifadesinin sıkça kullanılması boşuna değil!). Ülkemizde ilk ve orta öğretimde (hatta birkaçı hariç üniversitelerimizde) Öklid geometrisi ve onun uzantıları olan afin uzaylar ve differensiyel geometri konuları incelenir. Öklid dışı geometrilerin de sadece varlığından bir kaç cümle ile söz edilir. Oysa benzerlik, farklılık, aykırılık ve zıtlığın öğretimdeki büyük rolü inkar edilemez. Çünkü kötüyü bilmeden iyiyi, çirkini bilmeden güzeli, kısa kavramını belirlemeden uzun kavramını anlamlandıramazsınız. Yine birbirine çok benzeyen iki şeyi ayırabilmek için farklılıklarını ortaya koymak gerekir. Gelelim Öklid dışı geometrilere. Kanatimce Öklid dışı geometrilerin sadece varlığından söz edip bırakmak oldukça sakıncalıdır. Nitekim, ABD ve bazı uzak doğu ülkelerinde orta öğretim programları Öklid dışı geometrilerden bazı örneklemelerle -basitleştirilerek- donatılmaktadır. Öğretmen yetiştiren öğretim kurumlarında Öklid dışı geometriler ve Elementer projektif geometri mutlaka okutulmaktadır. 1980 öncesi yıllarda "Eğitim Enstitüsü" adı altında öğretim yapan okulların programlarında elemanter projektif geometri dersi vardı ama okutacak öğretmen yoktu. Bugün ilk ve orta öğretimde görev yapan öğretmenlerimizin yüzde doksan dokuzunun yukarıda saydığım konularda yetersiz ve donatımsız olduğu bir gerçektir. Bunun sebebi öğretmenlerimiz değil fakat yeterli kadrolara sahip olmayan yüksek öğretim kurumlarımız ve bizleriz. Konuşmacınız bunun bilincine ancak ellili yaşlarında ulaşmıştır ve bu boşluk ve eksikliği kendi çapında gidermek için bazı gayretler içindedir. Şu anki tebliğ de bu düşüncenin eseridir.

Burada şu sorular sorulabilir: Öklid dışı geometrilerin orta öğretimle ilgisi nedir? Bunlar hangi kapsamda ve nasıl anlatılabilir? Mevcut eksiklikler nasıl giderilir?

Soruların kısa cevabı kanaatimce şöyle özetlenebilir:

Son sorudan başlarsak, eksikliklerin giderilmesi için öğretmen yetiştiren yüksek öğretim kurumlarında Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometrilerin okutulması gerekir.

Son elli yılda artık EK-3 de sunulan (Metrik yaklaşımlı) aksiyom sistemi kullanılmaktadır. Oysa gerek taksi geometri, gerek maksimum metriği ile geliştirilen geometride Öklid düzlemi ile aynı nokta ve doğru kümeleri kullanılmakta, açılar da aynı yolla ölçülebilmektedir. Bunların her ikiside 13 aksiyomdan 12 tanesini sağlamakta sadece Kenar-Açı-Kenar (KAK) aksiyomununda aykırılık göstermektedir. Sonuç olarak KAK aksiyomunun da Öklidyen geometri için kritik ve belirleyici aksiyom olduğu görülmektedir. Buradaki önemli husus, Öklidyen geometride birçok başka kavramlarıda belirlemekte ve tanımlamakta kullanılan UZAKLIK kavramının tanımından ortaya çıktığının öğretici tarafından iyi bilinmesidir. O, öğrenciye pedagojik nedenlerle bu yeni modelleri tamamen veremese bile kendince örnekler düzenleyebilir. Aşağıdaki konular orta öğretimde basitleştirilerek örneklerle öğrenciye verilebilir:

Düzlem Taksi geometrisi tanıtılır, modern yaşamdaki çok sayıdaki uygulamaları verilir. Öklidyen düzlem geometrinin 13 aksiyomundan 12 tanesini sağladığı fakat sadece KAK aksiyomunun sağlanmadığı -aşağıdakine benzer bir örnekle- gösterilebilir.

Öklid geometrisinde "C, A ile B arasında Ûd(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" arada olma aksiyomu bir çok metrik geometride gerli değildir. Örneğin; (1,-1)

"arada olma" yı daha belirlemek için metrik yaklaşımda "C, A ile B arasında ve CÎÛd(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" biçiminde geliştirilmiştir.

Öklid düzleminin istenilen kadar büyük yarıçaplı fakat gerektiğinde sınırlı bir bölgede yaşam uygulaması mümkün kılan Klein Modeli tanıtılarak Öklid dışı geometri kolayca anlatılabilir.

- Bu modelde paralellik nasıl tanımlanır?

- Paralel olmayan ve kesişmeyen doğrular var mı?

- Paralellik aksiyomu dışındaki aksiyomlar sağlanır mı?

gibi sorulara cevap aranabilir.

Poincare'nin yarı düzlem hiperbolik geometrisi tanıtılır. Paralellik aksiyomunun sağlanmadığı, üçgenin iç açıları toplamının 180 den küçük olduğu kolaylıkla gösterilebilir.

KAYNAKLAR

1. W. W. R. Ball, Ashort Account of the History of Mathematics Dover Pub, Inc., New York.

2. C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley&Sous, New York (1968).

3. S. R. Clemens, Non-Euclidean Distance, Mathematics Teacher, ? , 595-600 (1971).

4. D. Hilbert, Foundations of Geometry (Grundlagen Der Geometri nin İngilizce Tercümesi), Open Court Pub. Comp. (1950).

5. R. Kaya, Projektif Geometri, Anadolu Üniversitesi yayını (1992).

6. F. Krause, Taxicab Geometry, An adventure in Non-Euclidean Geometry, Dover Pub., Inc. New York (1975).

7. G. E. Martin, Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane

8. R. S. Millman-G. D. Parker, Geometry, A Metric Approach with Models, Springer Verlag, Berlin (1991).

9. School Mathematics Study Group, Geometry, Pasedena, California.

10. S. Stahl, The Poincare Half-Plane, Jones and Barlett Pub., Boston.

EK-1: ÖKLİD AKSİYOMU ve POSTULATLARI

Öklid ELEMENTLER adlı 13 kitaptan oluşan eserlerinden ilk 4 tanesinde düzlem geometriyi incelemektedir.Öklidyen geometrinin aksiyom ve postulat adıyla anılan iki tür varsayımı vardır, ve bu iki kavram arasındaki FARK daima soru ve tartışma konusu olmuştur. Greekçe' den alınan axioma ( önemli, değerli, yakışır, uygun) sözcüğü tamamen aşikar, doğruluğundan şüphe olmayan ifade anlamında kullanılırken; postulat sözcüğü doğru olduğu kabul edilebilen ifade yada başka bir deyimle doğruluğu çok aşikar olmayan fakat geçerli olduğu varsayılan ifade anlamında kullanılmıştır. Bugün matematikte böyle ifadeler arasında ayırım yapmaksızın hepsi aksiyom olarak, temel ön kabuller olarak, alınmaktadır. Öklid aksiyom ve postulatlarını tam yansıtmak için onları orijinaline uygun ingilizce ifadeleriyle vermeği tercih ediyorum:

AKSİYOMLAR

[1] Things which are equal to the same thing are also equal to one another.

[2] If equals added to equals, the whole are equal.

[3] If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.

[4] Things which coincide with one another are equal to one another.

[5] The whole is greather than the part.

POSTULATLAR

[1] To draw a line from any point to any point.

[2] To produce a finite straight line continuously in a straight line.

[3] To describe a circle with a circle with any center and distance.

[4] That all right angles are equal to one another.

[5] That, if a straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side of which are the angles less than the two right angles.

Not: Öklid aksiyom ve postulatlarında görülebilen eksiklik ve muğlaklıkların bir çoğu, yine önceden verilen 23 tanımla kısmen takviye edilerek tamamlanmaya çalışılmıştır.

KAYNAK: "Euclid's Elements, book I." olarak internetten bakılabilir.

EK-2:ÖKLİDYEN DÜZLEM AKSİYOMLARININ

D.Hilbert TARAFINDAN YENİDEN DÜZENLENMİŞİ

I - KONUM (Connection or Incidence) AKSİYOMLARI

[1]Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en az bir doğru vardır. (Farklı iki noktadan en az bir doğru geçer).

[2] Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en çok bir doğru vardır. (Farklı iki noktadan en çok bir doğru geçer).

[3] Her doğru üzerinde en az iki nokta, ve dışında en az bir nokta vardır.

II - ARA (Order) AKSİYOMLARI

[APB], P noktasının Aile Barasında olduğunu göstermek üzere:

[1] [APB] ise A, P, Bnoktaları farklı olup doğrudaştır ve [BPA] dır.

[2] Farklı ve doğrudaş olan üç noktadan ancak birisi öteki ikisi arasındadır.

[3] Ave Bbir ldoğrusu üzerinde farklı iki nokta ise, lüzerinde [ABP] olacak biçimde en az bir Pnoktası vardır.

[4] (PASCH aksiyomu) A, B, C doğrudaş olmayan üç nokta ise ve ABC düzleminin, A, B, C nin hiçbirinden geçmeyen bir l doğrusu (BC), (CA), (AB) açık doğru parçalarından birini keserse, öteki ikisinden bir tekini de keser.

III - EŞLİK (Congruence) AKSİYOMLARI

[1] [AB]bir doğru parçası, ve [A´P herhangi bir ışın ise, bir ucu A´ de, öteki ucu ışın üzerinde olan ve [AB] ye eş bulunan bir tek [A´B´] doğru parçası vardır.

[2] Doğru parçaları için eşlik bağıntısı geçişkendir, yani

[3] [APB]ve [A´P´B´]için

[pq], p ve q ışınlarının oluşturduğu açıyı;

[prq], [pq] açısının bir iç noktası R iken r = [OR ışınının p ile q nun arasında kaldığını;

[lP, düzlemde l doğrusu ile birlikte, l nin dışındaki P noktasını üzerinde bulunduran yarı düzlemi (düzlem-ışın) göstermek üzere:

[4] [hk] bir açı, ve [lP hrhangi bir kenarı l üzerinde, öteki kenarı düzlem-ışın üzerinde olan ve [hk] ye eş bulunan bir tek [h´k´] açısı vardır.

[5] Açılar için eşlik bağıntısı geçişkendir, yani

[6] [hrk], [h´r´k´] için

Üçgenlerde eşliğin KAK tanımı:Aralarında gibi bir eşleme kurulmuş olan iki üçgende karşılıklı ikişer kenar birbirine eş ise ve ayrıca bu kenarlar arasındaki açılar da eş ise bu iki üçgene eş üçgenler denir.

[7] Birbirine eş olan iki üçgende karşılıklı taban açıları eştir.

IV - ÖKLİD PARALELLİK (Parallel) AKSİYOMU

Başka iki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğru ile aynı tarafta, toplamları den küçük açılar oluşturursa, iki doğru bu açıların bulunduğu tarafta kesişirler.

V - SÜREKLİLİK (Continuity) AKSİYOMLARI

[1] (ARCHIMEDES veya CANTOR aksiyomu) bir l doğrusu üzerinde içiçe doğru parçaları ise, l üzerinde, kendisine göre, bütün ler aynı tarafta ve bütün ler ters tarafta olacak biçimde bir P noktası vardır.

[2] (Tamlık Aksiyomu) Nokta, doğru (ve düzlemlerin) oluşturduğu sisteme, bu beş grup aksiyomun hepsine uyan yeni bir geometri oluşturacak şekilde başka elemanlar eklemek mümkün değildir. Başka bir deyimle, geometrinin elemanları, beş aksiyom grubu sağlandığı sürece, şüphe kabul etmeyen bir sistem oluşturur.

KAYNAKLAR

1- David Hilbert, Foundations of Geometry, Open Court Pub. C., 1950.

2- Hüseyin Demir, Öklid Geometrisi, ODTÜ, 1987.

EK-3: ÖKLİDYEN DÜZLEM GEOMETERİ AKSİYOMLARI

(METRİK YAKLAŞIM)

"Öklidyen düzlem geometri";

- P; noktalar kümesi,

- L; P nin alt kümelerinin bir ailesi olan doğrular,

- m; açı ölçme fonksiyonu,

- ; uzaklık fonksiyonu,

olmak üzere aşağıda verilen onüç aksiyomu sağlayan [P,L, ,m] matematiksel sistem olarak düşünülebilir. ( Bu onüç aksiyom antik çağda Öklid tarafından bulunan modern bir aksiyomlar kümesinin, bugün indirgenmiş son şeklidir).

İlk iki aksiyom üzerinde olma aksiyomları olarak bilinir.

[1] Verilen iki noktayı içeren bir tek doğru vardır.

[2] Her doğru en az iki nokta içerir. Pkümesi doğrusal olmayan en az üç nokta içerir.

Bunları izleyen dört aksiyom uzaklık fonksiyonunun pozitif tanımlı, simetrikve üçgen

eşitsizliğini sağladığını gösterir. Ayrıca cetvel aksiyomudenilen aksiyom sağlanır.

Detaylı olarak, için bu dört aksiyom aşağıdaki gibidir.

[3] Her sıralı (A,B) nokta çifti için (A,B) sayısını belirtir. Ayrıca (A,B)=0 olması için gerek ve yeter koşul A=Bolmasıdır.

[4] (A,B)= (B,A) dir.

[5] (A,B)+ (B,C)> (A,C) dir.

[6] Verilen bir Ldoğrusu f_L:L!Rbire-bir ve örten fonksiyonu vardır öyleki Lüzerindeki tüm A, Bnoktaları için;

|f_L(A) - f_L(B)|= (A,B)

olur.

Şimdiki aksiyom düzlem ayırmaaksiyomudur.

[7] Verilen bir Ldoğrusu için Pnin H₁ veH₂ gibi yarı düzlem olarak adlandırılan iki alt kümesi vardır öyleki,

(i) H₁ veH₂ konvekstir;

(ii) H₁ [H₂ = P- L(Pden Lnin atılmışı demektir);

(iii) A2H₁ ve B2H₂ ise L¹ Æ.

olur.

Şimdi vereceğimiz dört açı-ölçmeaksiyomu bir bütün oluşturur.

[8] m, her bir açı için 0 ile 180 arasında değişen bir reel sayı değeri ile belirtir.

[9] Hyarı düzleminin kenarı üzerinde bir ışını ve 0 ile 180 arasında herhangi bir rreel sayısı verilsin. Bu durumda P2Holmak üzere mÐPAB = rolacak şekilde bir tek ışını vardır.

[10] Eğer Dnoktası ÐABCnin iç bölgesinde ise

mÐABD+ mÐDBC= mÐABC

dir.

[11] Eğer Bnoktası, Aile Carasında ve DÏ ise,

mÐABD+mÐDBC= 180

dir.

Sıradaki aksiyom [P,L, ,m] sisteminin kenar - açı - kenaraksiyomudur.

[12] İki üçgenin köşe noktaları arasında bire-bir bir eşleme verilsin. Eğer birinci üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, ikinci üçgenin karşılık gelen kenarlarına ve açıya eş ise bu eşleme bir eşlik (çakışma)dir.

Son aksiyom [P,L, ,m] sisteminin ünlü paralellikaksiyomudur.

[13] Ldoğrusunun dışında bir Pnoktası verilsin. Bu durumda Pnoktasından geçen ve Ldoğrusuna paralel olan bir tek doğru vardır.

KAYNAK

E. F. Krause, Taxicab Geometry, Dover Pub. Comp., New York (1975).

Matematikçiler derneği Bilim Köşesi /Yazar=Prof. Dr. Rüstem KAYA -2004

GERİ DÖN

MATEMATİK KORKUSUNDAN NASIL KURTULABİLİRSİNİZ

MATEMATİK fobik misiniz?

Kim korkar matematikten?Neden matematik öğreniyoruz? Konuştuğunuz herkesin matematikle ilgili söyleyecek bir şeyleri vardır. Bazı insanlar matematiği sever, kimileri ise pek hoşlanmaz.

Bazı öğrencilere göre matematik birçok kural ve formülden oluşan bir derstir. Kimine göre ise, matematik hayatın içindedir. Alışverişte bir şey satın alacağımız zaman, yemek yaparken kullanacağımız malzemenin ölçüsünü ayarlarken, ya da bir bina inşa ederken, yani sık sık kullandığımız bir şeydir. Öyleyse matematik sadece sayılardan ibaret bir ders midir?

Elbette sayıların önemi tartışılmaz; fakat matematik aynı zamanda, ilişkileri görmeyi, sebeb-sonuç ilişkisini kurabilmeyi, okuma ve yazmayı, tabloları, resimleri, grafikleri yorumlayıp kullanabilmeyi içerir. Bulmaca çözmek, gazete okumak gibi gündelik faaliyetlerimiz aynı zamanda bizim için birer matematik alıştırmasıdır.

Matematik sınavında heyecanlanıyorum

Ders zamanı ayaklarım geri geri gidiyor

Tahtaya kalkmak benim için bir kâbus

Konular daha zorlaşacak mı?

Matematik kaygısı!

"Matematik dersine gireceğim zaman ayaklarım geri geri gidiyor. Derste tahtaya kalkmak benim için bir kabus. Derste soru sormaya çekiniyorum. Şimdi bazı işlemleri anlayabiliyorum ama ileride konuların daha zorlaşacağından endişeleniyorum. En fazla matematik sınavına gireceğim zaman heyecanlanıyorum. Sınava nasıl hazırlanacağımı bilmiyorum. Derste konuları anlıyorum; ama eve geldiğimde, sanki hiç sınıfta bulunmamışım gibiyim. Matematik dersinden kalmaktan korkuyorum."

Yukarıdaki ifadeler sizden bir şeyler barındırıyorsa, matematik kaygısı taşıyor olabilirsiniz. Matematik kaygısı, matematik dersine karşı duyulan duygusal bir tepkidir. Geçmişte yaşanmış olumsuz ve deneyimlerden kaynaklanır. Bu, ileriki öğrenmeleri de engeller.

Matematik korkusundan nasıl kurtulabilirsiniz?

Öncelikle matematiksel geçmişinizi tespit edin

İşlem kabiliyetiniz yetersiz ise matematiğin temel konularını çalışmakla işe başlayabilirsiniz. İşlem kabiliyeti, matematiğin ABC'si gibidir. Nasıl ki harfleri bilmeden okuma-yazma öğrenemezseniz; işlem yapmayı bilmeden matematiğin diğer konularını öğrenmeniz mümkün değildir.

Eğer işlem kabiliyetiniz düşük ise ders çalışmaya dört işlem, rasyonel sayılar ve işlemler, köklü ve üslü ifadeler, çarpanlara ayırma, özdeşikler konularıyla başlayabilirsiniz. İlköğretim öğrencileri özellikle dört işlem kabiliyetini (toplama, çıkarma, bölme, çarpma) çok iyi edinmiş olmalıdır.

İşlem kabiliyetiniz iyi, fakat konuları anlamakta güçlük çekiyorsanız; ders çalışırken konuları kavramaya daha fazla vakit ayırmalısınız. Özellikle matematiğin en güç alanı çeşitli problem tiplerini birbirinden ayırt edebilmektir. Yani hangi problem nasıl çözülür? Bu ayırımı yapabilme seviyesine gelene kadar konu çalışmasına devam edin.

Birçok matematik kitabının sonunda konu tekrar problemleri vardır. Her konunun sonundan bir problem seçerek, bu problemler arasındaki farklılıkları not edin. Her problemin çözümü için yapmanız gereken, ilk basamağı yazın. Mesela; OBEB ile OKEK problemleri arasındaki fark nedir? Yaş problemleri ile işçi problemlerini nasıl ayırt ederim ve her biri için işleme nasıl başlarım gibi. Güçlük çektiğiniz konuları asla atlamayın. Onları iyice öğrenmeden yeni konuya geçmeyin. Örnek problemleri işlem basamaklarını iyice kavrayana kadar tekrar tekrar çözün. Bunun vakit alacağını da aklınızdan çıkarmayın.

İşlem kabiliyetiniz iyi, konuları anlıyor fakat çok hata yapıyorsanız; konu çalışmasından çok pratik yapmaya zaman ayırmalısınız. Bir konuda kendinizden emin olana kadar çok örnek çözün. Problem çözerken yanınızda bir saat bulundurun ve bir müddet sonra gittikçe kısalan sürelerde problemi çözüp çözemediğinizi kontrol edin.

Konuları küçük parçalara ayırın ve basit

örneklerden zor örneklere doğru ilerleyin

Matematik dersinde elde edeceğiniz başarılar, geçmiş olumsuz deneyimlerinizin izini silecek, gelecek öğrenmeleriniz için yol açacaktır. Bunun için eksiklerinizi bir an önce telafi etmeye başlayın. Basit konuları çok iyi anlayana ve problem çözümünde yeterince otomatikleşinceye kadar soru çözmeye devam edin.

Olumsuz iç konuşmalara son verin

'Bunu asla anlayamam, bu problemi çözmem imkansız, başaramayacağım' gibi içinizde sürekli tekrarlanan iç konuşmalarınıza kulak vermeyin. Olumsuz iç konuşmaların insana hiçbir faydası yoktur. Bu konuşmalardan kurtulmak için şu yöntemi kullanabilirsiniz:

Olumsuz iç konuşmalarınız başladığı zaman gözlerinizi kapatın ve konuşan sesi bir hoparlör gibi düşünün.

Şimdi bu sesi (hoparlörü) öne çağırın gelsin. Ne diyor? Bu sese ihtiyacınız var mı? Size bir faydası var mı? Eğer cevabınız olumsuz ise o hoparlörün sesini kısın, artık hiçbir şey söyleyemesin.

Ya da o sesi kaale almadığınız biri karşınızda konuşuyormuş gibi düşünün (mesela bir çizgi film karakteri gibi)

Matematik dersine nasıl çalışılır?

1 İhtiyaç duyduğunuzda öğretmeninizden ya da bilen bir kişiden yardım isteyin. Yapamadığınız soruların yanına bir işaret koyun. Ev ödevlerinde yapamadığınız soruları atlamayın. En kısa zamanda bu soruların çözümlerini bilen birinden öğrenin.

2 Sadece öğretmeni izleyerek konuyu anlayamayacağınızı unutmayın. Mümkün olduğunca çok örnek çözün.

3 Kuralları, formülleri, işlem basamaklarını küçük kartlara yazın. Bu kartlardan birini rastgele çekerek kural veya formül hakkında neler bildiğinizi kontrol edin. Bunu arkadaşlarınızla ya da aile fertlerinizle bir oyun haline getirebilirsiniz

4 Bir arkadaşınızla birlikte çalışın. Araştırmalar, grupla çalışan kişilerin yalnız çalışanlara göre daha iyi performans gösterdiklerini ispatlamıştır. Zaman zaman birbirinizin işlemlerini kontrol edin.

5 Konunun başlığını muhakkak yazın. Eve geldiğiniz zaman ödev yapmaya başlamadan önce defterinizdeki başlığı renkli bir kalemle çizin. Bu sizin ne yaptığınızı görmenize yardımcı olacaktır.

6 İşlem yaparken her basamağın yanına ne yaptığınızı kendi kelimelerinizle tekrar not edin.

Niye matematik en korkunç ders?

Matematik, endüstrileşmiş toplumun hemen hemen her ürününde var. Hiçbir gökdelen, hiçbir cep telefonu veya antibiyotik matematik olmadan geliştirilemezdi. Gündelik yaşamda ne kadar çok matematik bilgisi varsa bunları kullanmak için o kadar az matematik bilgisi gerekiyor.

Avrupa genelinde yüz binlerce öğrenci OECD adına uluslararası bir uzman ekibi tarafından hazırlanan "Programme for International Student Assessment"ın soru formlarını doldurdu. Araştırma daha çok öğrencilerin matematik kabiliyetini ölçmeye dayanıyordu. Türkiye 40 ülke arasında matematikte 33. sırada, okumada 33. sıra ve tabiat bilimlerinde 35. sırada kaldı.

Matematik soruları, ezbere dayanmayan problemlerden oluşuyordu. Öğrencilerden formüllerle uğraşmak yerine matematiğin dünyada oynadığı rolünü kavrayarak, mantıklı bir şekilde uygulamaları istendi.

Gündelik yaşamdaki soruların matematik diline çevrilmesi eğitimciler tarafından dilimize aşağı yukarı 'matematik okuryazarlığı' olarak çevrilebilecek, "Matematical Literacy" olarak adlandırılmakta. Başarılı Pisa öğrencileri her test sorusu için uygun formülü aramak zorunda olmasalar da, soruyu çok iyi anlamak zorundadırlar.

Örneğin 1998 ve 1999 yılları arasında gerçekleştirilen gasp olaylarının gösterildiği bir grafiği, şu soruya göre yorumlamak zorundalar: Gasp olaylarının arttığı doğru mudur?

Öğrencilerin birçoğu 'evet' diyor. Sonuçta yandaki sütun çok daha yüksektir. Oysa eksenlerin derecelendirilmesine bakan öğrenci gerçekte gasp olaylarının artmadığını görür. Diğer sorular da uygun deneylerle çözülebilmekte.

Listenin sonlarında yer alan Türkiye'de öğrencilerin yarıdan fazlası (yüzde 53) matematikte birinci düzeyin altında kaldı. OECD ülkeleri ortalaması için bu oran yüzde 30'un altındadır. Türkiye'yi diğer ülkelerden ayıran bir özellik, okul türleri arasındaki farklılıkların en büyük olduğu ülke olmasıdır. Japonyanın özellikle de matematikte hep üst sıralarda yer alması, durmadan çalışmayı gerektiren acımasız bir sisteme bağlanıyordu. Tokyo'daki Suginami İlköğretim Okulu'nda yapılan bir ziyaret ilk başta bu önyargıyı kanıtlıyor gibi. Matematik dersi matematik sorularının sınıfça toplu halde çözülmesiyle başlıyor.

Bir öğrenci, örneğin 36 x 8 eşittir 288 dediğinde, dördüncü sınıfın geriye kalan tüm öğrencileri "doğru" diye yanıt veriyorlar.

Öğretmen Yasuho Arita sırayla herkesi kaldırıyor ve en sonunda tüm öğrenciler aynı soruları kendi kendilerine çözüyorlar ve Arita öğrencilerin başında kronometreyle bekliyor. Hesap alıştırmaları bittikten sonra Arita'nın "ilginç matematik" dediği başlıyor.

Öğretmen tahtaya köşeli bir insan çiziyor. Öğrenciler bu figürü yap boz parçalarına benzeyen Tangram taşlarıyla biçimlendiriyorlar. Ve birdenbire Japonya'daki matematik dersinin sanıldığı gibi sadece katı kurallarla işlemediği ortaya çıkıyor. Arita, gayet cazip yöntemlerle öğrencileri matematiğe özendirmekte.

Ona göre tek başına mekanik alıştırma, zorlu matematik problemlerini çözme hevesini söndürmekten başka hiçbir işe yaramaz. 'Burada kişisel çaba gerekli.' diyor Arita... Japon okullarındaki diğer önemli bir konu da problemlerin herkes tarafından tamamen anlaşılana dek sınıfça o problem üzerinde çalışılması.

Anlaşıldığı üzere Japon öğrenciler toplu halde alıştırma yapma ve "ilginç matematik"le biçimlenen matematik dersinin yararlarını görüyorlar. Oysa ülkemizde diğer derslerde olduğu gibi matematik de büyük ölçüde formüllerin ezberlenmesine dayanır. "Müzik eğitimi alan bir öğrenciye yıllarca nota ezberletmeye benzeyen bu sistem, sanata, nefret duymaktan başka bir şey vermez." diyor Enzensberger.

Matematik korkutan bir ders olmamalı. Öğrencilerin sayılarla ilgili bilmece dünyasına olan meraklarını uyandırmak mümkün. Ve bu, sayılarla çevrili bir dünyada pek de şaşırtıcı olmasa gerek.

(Der Spiegel, 50/2004 / Bilimteknik)
02.04.2005
Psikolog Çiğdem Alparslan

Kaynak : Bilim teknik

GERİ DÖN

MATEMATİKLE YAŞAMAK

Prof. Dr.Ahmet INAM
ODTÜ Felsefe Bölümü

Insan kaç dünyada yasar? Simdi hepimiz tek bir dünyada, yeryüzünde yasadigimizi düsünüyoruz ve bu dünya hepimizce paylasilan bir dünya. Ama aslinda ,o, yasadigimiz ortak dünyanin yaninda ,yasayabildigimiz degisik dünyalar da var. Bu nasil oluyor? Yasadigimiz bu ortak, herkesle birlikte oldugumuz dünyamizi, kendime göre yorumlamaya, anlamaya degerlendirmeye, düsünmeye, tasarlamaya basladigim zaman diger insanlardan ayri bir dünya meydana geliyor .
Iste matematik; matematikçi olmak, benim görebildigim kadariyla, matematikle ugrasmak, herkes için ortak bir dünyada yasamak ama, bu dünyaya matematikle bakabilmek, bu dünyada matematikle yasayabilmekle gerçeklesebilir.Çünkü, bu herkes için ortak olan dünyamizin içinde, birlikte yasadigimiz, paylastigimiz, üzerinde tartistigimiz, kavga ettigimiz, sevdigimiz, kimi zaman nefret ettigimiz, asik oldugumuz, aci çektigimiz bu dünyanin içinde, degisik dünyalar var. Galiba ben bu ortak dünyanini disinda bir yerde bulunuyordum ki, bu hepimizce ortak dünyaya erisemedigim ve geri dönüsü yapamadigim için zaman zaman baska dünyalara gidip gelme durumum oluyor. Kendinizi düsünün bir problem çözerken,eger çok yogunsaniz çevrenizdeki hersey birdenbire kaybolur, zaman durur, etrafinizda bulunanlar, mekan alisa geldiginiz “saat zamani” ortadan kaybolur, tamamen farkli bir dünyaya girersiniz. Iste ben sizinle bu “Matematikle Yasamak” konulu söylesimde matematigin bu dünyasi hakkinda konusmak istiyorum.
Ben bir matematikçi degilim arkadaslar, ama matematigi seven anlamaya çalisan biriyim. Daha dogrusu matematigi, birçok felsefecinin yapmaya çalistigi gibi matematiksel düsünme ve onun isleyisi anlaminda anlama yolunda degilim ; matematigi dünyasi ve o dünyada yasayan insanlarla birlikte kavramak istiyorum. Buna çalisiyorum. Matematiçiler benim hep ilgimi çekmistir. Yani sairler, ressamlar nasil ilgimi çekmisse matematikçiler çok ilgimi çekmistir. Nedenini açiklamaya çalisayim. Ne var matematikçilikte, matematikçi olmak neye benzer, matematikçi gibi yasamak diye bir yasama biçimi var midir? Ben oldugunu düsünürüm. Bir insanin Matematikçi olmasinin (tabi istisnalar olabilir hakli olarak itirazda edebilirsiniz. Bu konusmam bitigi zaman) belli bir dünyada, belli bir tarzda yasamasiyla çok yakindan ilgili oldugunu düsünüyorum. Dünyalardan söz etmistim ya, bu konusmamin basinda size, bu dünyalardan dördünü açiklamaya çalisayim size. Matemetigin nerede oldugunu bu dünyalar arasi iliskilerden anlatmaya çabalayayim.
Birinci dünya hepimizin ortak oldugu dünya. Simdi su oturdugunuz koltuklar, iste benim sesim, benim görüntüm, buna birinci dünya diyoruz. Fiziksel bir dünyadir ve ortak bir dünyadir. Bu dünyayi yitirdiginiz zaman mahvolursunuz; zaten bir çok akil hastaliklarinda bu dünya yitiyor, baskalariyla ortak yasama dünyasini kaybediyorsunuz ve ozaman tüm çevrenizle ve öteki insanlarla iliskiniz kopuyor. Onun için ruh sagligi, düsünce sagligi açisindan ,birinci dünyayi, her nekadar çok dalgin, kendinden geçmis bir insan olsaniz da yitirmemeniz gerekiyor. Eskiden yitiren insanlar olurmus. Büyük alimler. Mesela,bir profösör odasindan çikiyor, evini bulamiyor birtürlü. Kafasi o kadar dalgin, o kadar kendini gömmüs ki ugrastigi düsünsel sorunlara. Simdi akademik hayatta böyle insanlar göremiyorum. Tersine, öyle uyanik, is bitirici, anasinin gözü insanlar sarmis akademik yasami. “Acaba ben buradan kaç makale çikartabilirim?” En iyi doktora tezi olabilecek konuyu nasil bulabilirim?” “Hangi hocanin yanina gitsem de bir makale çikarsam, bir yerden birseyler kapsam.”diyen insanlar dolasiyor üniversitelerde. Büyük bir degisme var akademik hayatta, birinci düyaya karsi. Yanlizca matematikçilerde degil, bütün akademisyenlerde, birinci dünyanin çok yogun çalistigini görüyoruz. Oysa birinci dünyada degil matematik . Bu dünyada matematik yok. Bu dünyada sayi yok.(Bu dünyada kavramlar yok! Hiçbir kavram yok!) Bu dünyada 3 tane kiraz var, 3 tane hiyar var, 3 tane araba var ama 3 yok. 3 ün olmayisi diger sayilarin da olmadigini gösteriyor. 3 yoksa diger sayilar nasil olacak , kök 2 nasil olacak veya kökiçinde eksi 1 nasil olacak, sayilar yok bu dünyada, demek ki matematik bu dünyada degil. Yani, bu dünyada matematigin hiç bir nesnesine dokunamiyor, matematigin hiç bir nesnesini öpemiyorum. “Üçgenim gel canim benim!” diyemiyorum. Böyle bir üçgen nerede? Yok ki.! Çizebilirim kagidin üzerine ama, o çizdigim üçgen degildir. O üçgenin resmidir. Üçgenle üçgenin resmini karistirmamak gerekir. Çünkü bir dogru parçasini, geometri kitaplarinin yazdigina göre çizmeye kalksam, aslinda o çizdigim muhakkak kalinligi olan bir sey olmak zorunda oldugu için, tanim geregi dogru parçasi olamaz. Çünkü ben dogru parçasina büyüteçle veya mikroskopla baktigim zaman resimdeki kagit üzerinde bir sürü tirtil görecegim. Girintiler çikintilar gözleyecegim.Kagit üzerinde çizdigim sekil, matematikçinin kafasindaki dogru parçasina benzemiyor. Demek ki dogru parçasi yok. Demek ki matematigin hiçbir nesnesi birinci dünyada yok. Demek ki matematikçiler, olmayan seylerin pesinde kaptirmislar habire onlarla ugrasiyorlar. Bunlarin hiç bir nesnesi yok. Bayagi bir düsündürücü birsey. Demek ki bu dünyanin disinda baska bir dünya olmali ki (ahiret anlaminda söylemiyorum ama!), öyle bir baska dünya olmali ki, orada bu matematiksel nesneler olmali; bu dünyanin ortak birinci dünyayla bir iliski biçimi, haberlesme tarzi bulunmasi gerekir. Iste bu matematikçilerin yasadigi dünyaya gidis yollarindan birisi, bu haberlesmeyi basarmakla olanakli. Bunlari anlatiyorum, çünkü matematik egitimi açisindan çok önemli oldugunu düsünüyorum. Ben gerçi matematikçi degilim ama, hayatimin bir döneminde, genç yasimda matematik dersleri verdim, uzun yillar 10 yil kadar, orta ögretim düzeyinde, üniversiteye hazirlik derslerinde deneyimler edindim. Elimde çanta ile zengin çocuklarin evlerine gider Istanbul ‘da Sisli’de, o zamanlar sosyetenin oturdugu Levent’de , simarik, kendini bilmez ögrencilere örnegin Pisagor teoreminin ispatini ögretmeye çalisirdim, olasilik hesabindan söz ederdim. Ama bütün bu deneyimler bana, matematigin nasil bir insan etkinligi oldugu konusunda görüs kazandirdi, kafamda matematigin yapisiyla ilgilis sorularla dolastim yillarca;matemetik egitimindeki sikintilar üstüne düsünmeye çalistim. Ben içinizdeki degerli hocalara birsey söyleyecek durumda degilim. ‘Tereciye tere satmak’ bizim kültürümüzde çok ayip birseydir. Kendi birikimimlerimi aktarmak istiyorum bu dünya teorisi yardimiyla.
Birinci dünya ortak bir dünyadir ama, ikinci dünya, psikolojik bir dünya diyebilecegimiz bir dünyadir. Bu dünya, ortak olma özelligini kimi zaman tasir kimi zaman tasimaz.Eger yanimdaki bir arkadasimla ayni duyguyu paylasiyorsam, ikinci dünyamizda ortaklik oldugu söylenebilir. Gerçi, nereden bilecegiz ayni duyguyu tasidigimizi sorulari filan var ama oralara girmek istemiyorum. Birbirimizin gözlerinin içine bakiyoruz; bahar gelmis,sevgilimle elele tutusmusuz, herhalde ayni ikinci dünyayi paylasiyoruz. Kalpleri ayni dünyada, birinci dünyalari da ortak,ikinci dünyalari da. Nekadar güzel! Simdi, matematik dünyasina girebilmek için, bu psikolojik dünyanin içinde uygun bir tavirla yasayabilmek gerekiyor. Yani ikinci dünyasi müsait olmayan insanlarin matematik özürlü insanlar oldugunu çok rahat görebilirsiniz. Yani bazi insanlar var ki (ben ögrencilerimde de görmüsümdür!) mümkün degil, kafasinin matematige basmasi. Yani, matematik geçirmez bir kafayla dolasiyor, hiçbir sekilde geçmesi mümkün degil kafasina matematigin; siniflarini geçebilir, hatta korkarim matematik ögretmeni bile olabilir, ezberleyerek, hiç anlamadan. Ikinci dünyanin olmasi demek su demek,yasamdan örneklerle açiklaya çalisirsam: Matematik nesneler bu dünyada olmadigi için sizin maç seyreder gibi matematiksel iliskileri seyretme olanaginiz yok. Onun için maça giden bir insanin ikincidünyasi, Fenerbahçeli veya Galatasarayli olmasi gibi sevinçlerle coskularla arzularla umutlarla dolu olabilir ama, bu psikolojik egilim ve tutumla siz,matematikçinin varmasi gereken dünyaya varamazsiniz. Baska bir ikinci dünya yasayisi gerekiyor, yani baska bir ruh hali ,baska bir tutum gerekiyor. Iste bu, malesef bizim egitim sistemimizde pek sözü edilmeyen çok fazla tartisilmayan bir seydir. Matematik egitimi açisindan çok önemli bir soru da su: Genç bir insanin. bir matematik gönüllüsünün, bir matematik asiginin, ikinci dünyasiyla nasil bir iliskiye geçmeliyim ki, o matematiksel problemlerin dünyasina (ki ben ona dördüncü dünya diyecegim) ,dördüncü dünyaya geçebilsin? Nasil bir yogunlasma, nasil bir heyecan, nasil bir ilgi olmali ki, matematigi seven, matematige kendini vermek isteyen genç insanlar, matematigin nesneleri ile karsi karsiya gelebilsinler onlarla iliskiye geçebilsinler?. Gödel diye bir Matematikçi ve çok ünlü bir mantikçi var. Ayni zamanda felsefeci olan birisidir. Gödel, tipki bizim birinci dünyada örnegin bu su sisesini gördügümüz gibi matematik nesneleri gördügünü söylerdi. Nasil sizin önünüzde masa, perde varsa onun da önünde sayilar veya geometrik nesneler, neyse ugrastigi problemler, sanki çok somut cisimler gibi duruyormus. Ben geometri alaninda çalisan biriysem, eger ikinci dünyam uygunsa, bir yogunlasma ve kendimi toparlama ile matematiksel soyut düsünmeye dogru kendimi ruhsal olarak hazirlama gerekliligini yerine getirebilmissem, matematiksel nesneler dünyasina çok kolay çikabiliyorum. Yoksa, siçrayip siçrayip yere düsen birine benzersiniz. Hani yüksek bir duvar vardir da boyunuz yetmez siçrar biraz yükselir azicik birsey görür tekrar yer çekiminden dolayi düsersiniz. Belkide çogumuz öyleyiz; ikinci dünya müsait olamadigi için matematik problemlerinin ve konularinin azicigini görüyoruz ha! Tam görecegiz anlayacagiz derken, asagiya düsüyoruz. Bir daha çikmak için, ne yapmak gerekir? Herhalde bu ikinci dünya dedigim psikolojik dünyanin, nörolojik ve fizyolojik temelleri de var. Bazi insanlarin beyin yapilari, sinir sistemleri, vücut yapilari, beyin beden bütünlügü, aldigi egitim ve çevresiyle olan iliskisi, kisiligi, duygusal yapisi matematik dünyaya girmeye çok uygun olabiliyor. Bunlar çok uzun süre soyut alemde matematiksel dünyada dördüncü dünyada yasayabiliyorlar. Çünkü 3 sayisi oradadir diye düsünüyorum. Bu Platoncu bir düsüncedir, elestirebilirsiniz aslinda bu dünyalar teorisini. Ama matematik ögretimi konusunda bir fikir verdigi ve iyi bir model oldugunu düsündügüm için, bu teoriyi savunuyorum. Eger ikinci dünyaniz uygunsa, yani kendinizi çok iyi hazirlamissaniz psikolojik olarak iliskileriniz açisindan, yogunlasma gücü açisindan, bedeniniz açisindan,matematigin dünyasina ulasip,orada gücünüz oraninda yasayabilirsiniz. Kimi zaman , yogunlasabilmek için ilaç almak gerekebilir.Çünkü akliniz dagiliverir. Tam probleme oturuyorsun disardan bir müzik çaliyor veya maç var , bu problemi biraz sonra çözeyim bir maç seyredeyim diyorsun ama, maçi seyrettikten sonra dördüncü dünyaya çikma gücün kayboluyor. Gitmis,ikinci.dünyadaki o hazirlik ortadan kalkmis! Bu neye benziyor, sanki savas hazirligi gibi birsey. Cephane, silah, hertürlü lojistik destek olacak ki cepheye yani o matematiksel nesnelerin oldugu alana çikis yapabilelim. Iste dördüncü dünya dedigim bu alan, üçgenin, sayilarin matematiksel iliskilerin, kümelerin, fonksiyonlarin, limitlerin, türevlerin, integrallerin, oldugu bir dünyadir. Gönül istiyor ki, orada matematikçiler o dünyaya rahat rahat girsinler,o dünyada ,bir kasif gibi, bir gezgin gibi dolasabilsinler ve matematiksel nesneleri görsünler, tanisinlar, anlasinlar, iliskileri kavrasinlar, daha önce fakedilmemis iliskileri görsünler, basarilamamas ispatlari yapabilsinler. Yeni iliskiler, yeni matematiksel gezi ve kesif alanlari görebilsinler. Dördüncü dünyada da ( bu dünya düsüncesini kabul ediyorsaniz) belki kesfedilmemis birsürü sey duruyor bizim kesfimizi bekleyen. Yani Matematikçi, bir anlamada bir kasiftir, tipki Amerika Kitasini pusula, harita falan olmadan okyanusu asarak bulmaya çalisan, türlü zorluklarin üstesinden gelmeye ugrasan kasifler gibi. Çok büyük tehlikeler karsimizda duruyor. Çok büyük yanlislar yapabiliriz, anladigimizi sanabiliriz ama ikinci dünyanin oyununa gelebiliriz. Ispat ettigimizi saniriz. 3 gün sonra anlariz ki ispat degilmis bu, büyük bir “wishful Thinking” imis. Öyle olsun istemisiz,öyle yapmisiz. Bu durumu ben derslerimde görüyorum. Matematik dersi vermiyorum ama mantik dersi veriyorum. Ögrencilere ispat soruyorsunuz( onlarin psikolojilerini incelemek lazim ). Ispat edilecek teorem için ona ispatini adim adim gerçeklestirecegi aksiyomatik bir sistem sunuyorsunuz.. Bu ispati yaparken ögrenci bir adimda takiliyor. Simdi nasil çikacak isin içinden de, bir sonraki adima gelecek?Ikinci.dünyasinin burada o kadar hazir olmasi lazim ki ,ikinci . dünya onu firlatsin dörde, dörtte bulacak hangi adimin atilmasi gerektigini. Ama ikinci dünya müsait degil,örnegin kafasi daginik. O gün ya çisi gelmis, ya da baska birsey; birtürlü çözemiyor,tirnaklarini yiyor çocuk, çok aci çekiyor, bir satir yazamiyor. Ozaman garip birsey oluyor. Belki ögretmen arkadaslar kendileri de gözlemistir. Orada çocuk inanilmaz bir satir uyduruyor.Çölde serap görmüs gibi, bir satir uyduruyor ve ondan sonra hemen baska bir satira geçiyor ve ispati tamamliyor. O tamamen uydurulmus bi satirdir ve o kadar güzel uyduruyor ki ,o satiri koydugu zaman ispat bitiyor. Insan kafasi inanilmaz yanilgilarla dolu olabiliyor,ikinci dünyasini yasarken;matematik egitimcileri olarak bu dünyayi iyi tanimak gerek. .
Ikinci dünyalarimiz, bizim hepimizin kendi bireysel dünyalaridir. Kendi kafamizin içindeki, kendi kalbimizin içindeki, kendi heyecnlarimiz, kendi dikkat gücümüz, kendi kiskançliklarimiz beklentilerimiz falandir. Ama üçüncü dünyamiz ortak heyecanlar alani olan dünyadir. Buna ben Türkçeden bir söz bulmak istiyorum. Buna matematiksel heyecan alani veya matematiksel ask alani veya matematiksel ask dünyasi diyebilirsiniz. Saniyorum birçok arkadasimizda bu üçüncü dünya yoktur. Yani ikiden dörde siçriyorlar. Bu ne demek ? yaptiklarindan ask duymuyorlar. “Burada bir ispat var, bunu yapacagiz; bir problem var bunu çözecegiz. Sinifini geçmek için bunu yapacaksin . Biran önce bu ispati yapalim da yemege gidelim veya maç seyredelim” sözleriyle örnekleyebilecegimiz,memur kafali matematikçi tipini sorgulamak gerekir.Dördüncü dünyaya ikiden siçrayabilen,kurnaz,is bilir,heyacansiz insanlarin üçüncü dünyasizliginin matematik egitimini olumsuz yönden etkiledigini düsünüyorum.Bir matematikçi düsünün ki ask dünyasi yok arkadaslar! Olmasi gerekir mi gerekmez mi? Onu da sizlerle tartismak isterim. Bunu yalniz matematikçiler için söylemiyorum . Her akademik alanda, her entellektüel çabada, sanatta da böyledir. Memur sair vardir. Bir de ask dolu sair vardir. Memur fizikçi vardir. Memur fizikçi zeki adamdir iste,ikinci dünyasi çok uygundur. Ordan dörde geçip birseyler yazar. Oradan onu profesör yaparlar.Bilmem hangi kurumun baskani olur. Ama, fizik apayri birseydir. Fizigi içinde duyabilmenin, ve onun heyecaniyla dördüncü. dünyaya gidebilmenin coskusuyla yasama alani iste üçüncü alan. Bence egitimde hem iki hem üç çok önemlidir. O yüzden matematik egitiminde ögretmenlerin böyle dünyalarin varligini ögrenciler aktarmasi gerekir. Yani kavanoz dibi gibi gözlüklerini takmis, heyecansiz ,anlamsiz bakan bakan gözleriyle bana matematigi zehir eden hocalarim oldu. Kaslari çatik, garip seyler yaziyor tahtaya. Ondan sonra korkarak bir soru sordugum zaman azarliyor. “Aptal bunu görmüyor musun? Bunu anlamayandan matematikçi mi olur? ” “Allah Allah” diyordum kendi kendime, “ne ilahi birsey bu matematik, herhalde bizim buna aklimizin ermesi mümkün degil “Ikinci dünyam böylelikle depremlerle dolu oluyor, yaralar aliyor. Ben belki, o yanlis ve hasta hocam olmasaydi dördüncü dünyaya çikabilecektim. Ikinci dünyami biraz oksasaydi. Bana sevdirseydi matematigi,üçüncü dünyayla tanistirabilseydi; örnegin “sen vasat zekali birine benziyorsun ama fena da bir adam degilsin. Sunu sunu çözebiliyorsun” deseydi; belki argo deyimle beni gaza getirseydi, belki çok büyük bir matematikçi olamazdim ama, matematik asigi olup dolanip dururdum. Heyecan duyardim, belki bazi insanlara:”Matematik va ya acaip bir dünya; siiri filan birakin da matematikle ugrasin. Neden müzik dinliyorsunuz ? Bakin size korkunç acaip matematik problemleri getirecegim, bir baslayin siir kitabi okumus gibi, müzik dinlemis gibi, ciltlerle roman okumus gibi olursunuz;matematigi bir sanat yapitini yasar gibi yasayabilirsiniz.Çünkü,bu dünya uzak bir dünya degildir. Bu dünya korkunç bir dünya degildir. Bu konuda bir çok arkadas bir çok kitap yaziyor. Gerçekten matematikle yasamayi sevdirmek gerekiyor. Çünkü bu dörüncü dünyaya çikabilme, soyut kavramlar dünyasina çikabilmek demektir. Dördüncü dünya,yalnizca matematik alanini kapsamiyor. Bunda her türlü soyut düsünce, hertürlü kuramsal düsünce vardir. Iste bu dünyaya çikabilecek insanlarimizin olmasi, bizim kültürümüzün zenginlesmesi ve genislemesi demektir. Biz de bu dünyaya çok degerli ve yaratici bilim adamlari armagan edebiliriz. Bizde bu donanima sahip insanlar olduguna inaniyorum. Ikinci dünyasi müsait çok genç insanimiz var. Ama biz üçüncü dünyayi onlara duyaramadigimiz için, o heyecani, o aski, o coskuyu, o tesvigi, o yardimi yapamadigimiz , hep bir memur gibi çalistigimiz için, hep soruna dar kafali baktigimiz için , kendi ruh alemimizi çok iyi tanimadigimiz, taniyamadigimiz için, gençlere bilgilerimizi aktarirken bu hastalikli yanimizi da aktarmis oluyoruz. Kendi komplekslerimizi, asagilik duygularimizi, yalnizligimizi, çaresizligimizi matematik ögretirken çocugun yüzüne vurmus oluyoruz. Bunu çogunlukla farkina varmadan yapiyoruz. Bir egitimcinin buna çok dikkat etmesi gerekiyor. Çünkü çok az insanin basarabilecegi ve çok az insanin girebilecegi bir dünya gibi gösterirsek. dördüncü dünyayi, bu dünyaya giremiyenleri de sürekli olarak asagilarsak,küçümsersek ve bu egitimcilik olmaz. Herhalde matematige yapilmis çok büyük kötülük olur diye düsünüyorum.
Üçüncü dünyanin heyacanini yansitacak matematik tarihinden,matematikçilerin hayatindan örnekler sunabilir,matematik egiticisi.Bunlari ders kitaplari yazmiyor, ders kitaplari sadece ispatin sonucunu yaziyor ama bu ispata giden insan neler çekmis, hangi duygulardan, ne gibi firtinalardan, ne gibi çabalardan, yorgunluklardan, çilelerden geçtikten sonra bu ispati yapabilmis bunu anlatabilirsiniz. Bunu anlayabilir karsidaki ve matematigi sevebilir. Matematik bir insan etkinligi, herhangi biri, vasat zekalida olsa matematigi anlar,onu sevebilir,yasamina belli bir ölçüde matematigi katabilir. Matematigin dördüncü dünyasina saygi duyabilir. Matematikle hayatini ve yasadigi evreni anlamaya çalisabilir.. Kainati ve hayati anlamak matematigi anlamaktan geçiyor belki. Insanlar arasindaki iletisim sorunlarini çözebilecek uygun bir dili, belki matematik dili ile insanlar bulacak. Henüz böyle bir dil, su andaki matematik bilgimizle olanakli gözükmüyor, belki bir gün gelecek matematik o kadar gelisecek ki, egitilmesi ve ögrenilmesi o kadar kolay olacak ki, insanlar birbirleriyle matematik dili ile konusacaklar bütün dünyanin ortak dili belki de matematik olacak.

GERİ DÖN

MÜZİĞİN MATEMATİĞİ

Eski çağlardan beri müziğin matematik ile ilişkisi biliniyordu. Ortaçağda eğitim programlarında müzik, aritmetik, geometri ve astronomi ile aynı grupta yer alırdı. Günümüzde bilgisayarlar aracılığı ile bu bağ sürüyor.

Matematiğin müzik üzerindeki etkisinin açıkça görülebildiği alan, müzik parçalarının yazımıdır. Bir müzik parçasında ritim (4:4'lük, 3:4'lük, gibi), belirli bir ölçüye göre vuruş, birlik, ikilik, dörtlük, sekizlik... notalar bulunur. Bir ölçüye göre n sayıda nota yazmak, matematikte ortak paydayı bulmaya benzer, çünkü belirli ritimde, değişik uzunluktaki notalar belirli bir ölçüye uydurulur. Besteciler, yapıtlarını nota yazısının katı kalıpları çerçevesinde, mükemmel bir biçimde ve zorlanmadan yaratırlar. Karmaşık bir beste incelendiğinde, her ölçünün, değişik uzunlukta notaları kullanan belirli sayıda vuruştan oluştuğu görülür.

Matematik ile nota yazımının arasındaki bu ilişkinin yanı sıra müzik, oranlar, üstel eğriler, periyodik fonksiyonlar arasındaki ilişki de değerlendirilir. İlk kez oranlar ile müziği PISAGOR cular ilişkilendirmiştir. Sesin, çekilen bir telin uzunluğuna bağlı olduğu fark edilerek müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki ilişki bulundu. Uzunlukları tamsayı oranlarında olan gergin tellerin armonik sesler verdiği görüldü. Gerçekten de çekilen tellerin her armonik bileşimi tamsayıların oranı biçiminde gösterilebilir. Örneğin, C(do) notasını çıkaran bir teli ele alalım. C'nin uzunluğunun 16/15'i B'yi (si), 6/5'i A'yı (la, 4/3'ü G'yi (sol), 3/2'si F'yi (fa), 8/5'i E'yi (mi), 16/9'u D'yi verir.

Kuyruklu pianonun biçiminin neden eğri olduğunu düşündünüz mü? Gerçekten bir çok müzik aletinin biçimi ve yapımı matematiksel kavramlara dayanır. Üstel fonksiyonlar ve eğriler bu kavramlardandır. Üstel bir eğrinin denklemini y=a*k^x (k>0) olarak düşünebiliriz. Telli ve üflemeli çalgıların biçimler bu üstel eğrinin biçimiyle eşlenebilir.

Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19.yy'da matematikçi FOURIER 'in çalışmalarıyla doruğa çıktı. O, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadelerle tanımlanabileceğini, bunun da basit periyodik sinüs fonksiyonlarıyla olabileceğini kanıtladı. Her sesin, onu başka müzikal seslerden ayıran üç özelliği vardır:

· perdesi

· yüksekliği

· dokusu

Fourier'in buluşu, sesin bu üç özelliğinin grafikle gösterilmesini sağlamıştı. Ses dalgası, eğrinin frekansıyla: sesin yüksekliği, eğrinin genliğiyle ve sesin dokusu periyodik fonksiyonun biçimiyle ilişkilidir.

Müziğin matematiğinin kavranmasıyla, beste ve müzik aletleri yapımında bilgisayarlardan yararlanmak mümkün olmuştur.

GERİ DÖN

ORMAN YANGINININ MATEMATİĞİ

1960'ların sonuna doğru birbirini etkileyen parçacık sistemi olasılık teorisinin bir dalı olarak gelişmeye başladı ve ilerleyen bir alan durumuna geldi. Çeşitli doğa olaylarının yaygınlığını incelemek amacıyla Matematiksel ve bilgisayar modelleri kullanılıyor. Matematikçiler, dama tahtasını kullanarak örneğin, ağaçlar gibi rastgele bir dağılım gösteren parçaların modelini yapar. Tahtanın ortasındaki her işaretli birim ya da küme ağaçları temsil eder. Bu birimler ya yakılmış, ya yanıyor, ya da zarar görmemiş olur. Yanan bir birimin, her bir zaman diliminde, yangını dört komşu birimden birine (eğer buradaki birimler daha önce yanmamışsa) sıçratma olasılığı vardır.

Şimdiye kadar bu modeller gerçek yaşamdaki durumlar kadar karmaşık değildir. Benzer modeller salgın hastalıkların yayılmasına ilişkin olarak da kullanılmaktadır. Bu durumda, her birim sağlıklı, hasta ya da bağışıklığı olan bir kişiyi temsil eder. Matematikçiler değişik olasılık derecelerini ve bunların bilgisayar modellerinde nasıl geliştirileceğini araştırmaktadır.

Karmaşık bilgiler, Matematiksel modellerle işlenebildiği ölçüde, bu çalışmalaların sonuçları ve tahminleri belirli doğa olaylarının kavranmasında ve denetlenmesinde önemli bir rol oynayacaktır.

GERİ DÖN

Pİ SAYISI HAKKINDA

sembolü, Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre (çember) anlamına gelen "perimetier" kelimesinin de ilk harfidir. İsviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde, daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü kullandı. Leonard Euler'den önce gelen bazı matematikçiler tarafından da, bu sembol kullanılmıştır. Ancak, Leonard Euler'den sonra gelen, tüm matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar.
          Ayrıca, doğal logaritmanın tabanı olan 2, 71828... sayısı için, L. Euler'in kullandığı e harfi, sembol olarak bütün matematikçiler tarafından kullanılmaya başlanmış, benimsenmiştir. Gene, karekök içinde -1 imajineri için de, L. Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya başlanmış ve genelleşmiştir.

          İnsanoğlu; daire dediğimiz, kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerleğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır. Bu şekli, diğer insan ve hayvanların gözbebekleri ile gökyüzündeki Güneş ve Ayda görüyordu. Derken, elindeki sopa ile, kum gibi düzgün yüzeylere daire çizdi. Sonra düşündü; bazı daireler küçük, bazıları ise büyük. Görüyordu ki (sezinliyordu ki), dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı (çapı), büyürse, çevresi de o kadar büyüyordu. Sonra gene düşündü, cilalı taş devri insanı, artık soyutlamasını yapmıştı. Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı. Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu. Demek ki; bugünkü gösterim şekliyle, bu sabit orana dersek; Çevre/Çap = sabit. Şeklinde yazılabiliyordu.
          Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu.

Pi Sayısının Tarihsel Gelişimi

Kaynaklar, sayısı için, gerçek değerin ilk kez Archimides (M.Ö. 287-212) tarafından kullanıldığını belirtir. Ancak, Archimides'ten önce, Eski Mısırlılar'da ve Mezopotamya Babil devrinde, Archimiden'den sonra da, 15. yüzyıl Türk-İslam Dünyasının ünlü matematikçisi Gıyasüddin Cemşid (?-Semerkant 1429 ?) tarafından, sayısı için yaklaşık bazı değerler kullanılmıştır.

Pi Sayısının Kronolojik Gelişimi
M.Ö. 2000 : Eski Misirlilar pi= (16/9)2 = 3.1605 degerini kullaniyorlar.
M.Ö. 2000 : Mezopotamyalilar Babil devrinde pi=3 tam 1/8 degerini kullaniyorlar.
M.Ö. 1200 : Çinliler = 3 degerini kullaniyorlar.
M.Ö. 550 : Kutsal Kitapta (I. Krallar 7 : 23) ,pi = 3 anlamina geliyor.
M.Ô. 434 : Anaksagoras daireyi kare yapmaya girisir.
M.Ô. 300 : Yillari, Archimides < < oldugunu buluyor. Bundan baska yaklasik olarak =211875/67441 kesrini de buluyor.
M.S. 200 : Yillarinda, Batlamyos pi = (377/120) = 3.14166 degerini kullaniyor.
M.S. 300 : Yillari, Çüng Hing pi= = 3.166 degerini kullaniyor.
M.S. 300 : Yillari, Vang Fau pi= (142/45) = 3.155 degerini kullaniyor.
M.S. 300 : Yillari, Liu Hui pi= (471/150) = 3.14 degerini kullaniyor.
M.S. 500 : Yillari, Zu Çung-Çi 3.1415926< < 3.1415927 oldugunu buluyor.
M.S. 600 : Yillari Hintli Aryabhatta pi= (62832/2000) = 3.1416 degerini kullaniyor.
M.S. 620 : Hintli Brahmagupta pi= (m/10) degerini kullaniyor. Bazi kaynaklarda da Brahmagupta'nin için degerini kullandigi belirtilir.
M.S. 1200 : Italyan Fibonacci pi= 3.141818
M.S. 1436 : Semankant Türkü Giyasüddin Cemsid el Kasi, 'yi 14 basamaga kadar elde ediyor. Bu deger bugünkü kabul
edilen degere göre dogrudur.
M.S. 1573 : Valentinus Otho pi= (355/113) = 3.1415929 oldugunu buluyor.
M.S. 1593 : Hollanda'li Adriaen van Rooman pi'yi 15 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1596 : Hollandali Lodolph ve Cevlen pi'yi 35 basamaga kadar hesapliyor. (Bu nedenle Almanya'da sayisi, Lodolph sayisi diye de bilinir.)
M.S. 1705 : Abraham Sharp pi'yi 72 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1706 : John Machin yi 100 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1719 : Fransiz De Lagny pi'yi 127 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1737 : Leonard Euler'in benimsemesiyle sembolü evrensellik kazaniyor.
M.S. 1761 : lsviçreli Johaun Heinrich Lambert nin irrasyonelligini kanitliyor.
M.S. 1775 : Isviçre'li matematikçi, L. Euler nin üstel olabilecegine isaret ediyor.
M.S. 1794 : Fransiz Adrien-Marie Legendre pi'nin ve 2 nin irrasyonelligini kanitliyor.
M.S. 1794 : Vega yi 140 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1844 : Avusturyali Schulz von Strassnigtzky pi'yi 200 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1855 : Richter pi'yi 500 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1874 : lngiliz W. Shanks pi'yi 707 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1882 : Alman Ferdinan Lindemann pi'nin üstel bir sayi oldugunu kanitliyor.
M.S. 1947 : Ilk bilgisayar ENIAC pi'yi 2035 basamaga kadar hesapliyor.
M.S. 1958 : F. Genuys tarafindan, Chiffers I de yayinlanan makalede,pi sayisinin degeri 10.000 nci ondalik basamaga kadar hesaplanmistir.

Pİ sayısının ilk 1000 basamağı..

3,14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196
44288109756659334461284756482337867831652712019091
45648566923460348610454326648213393607260249141273
72458700660631558817488152092096282925409171536436
78925903600113305305488204665213841469519415116094
33057270365759591953092186117381932611793105118548

07446237996274956735188575272489122793818301194912
98336733624406566430860213949463952247371907021798
60943702770539217176293176752384674818467669405132
00056812714526356082778577134275778960917363717872
14684409012249534301465495853710507922796892589235
42019956112129021960864034418159813629774771309960
51870721134999999837297804995105973173281609631859
50244594553469083026425223082533446850352619311881
71010003137838752886587533208381420617177669147303
59825349042875546873115956286388235378759375195778
18577805321712268066130019278766111959092164201989

GERİ DÖN

PİRAMİTLER

Herbiri 20 ton olan taşlardan inşa edilmiştir. Ve bu taşları temin edebilecek en yakın mesafe yüzlerce km. uzaklıktadır.

Piramit kimin adıyla yapıldıysa, onun mumyasının bulunduğu odaya, yılda iki kez güneş girmektedir. Doğduğu gün, tahta geçtiği gün.

Mumyalarda radyoaktif madde buşunduğundan: mumyaları ilk kez bulan 12 bilimadamı kanserden ölmüştür.

Piramitlerin içinde, ultrasound radar, sonar gibi cihazlar çalışmaktadır.

Kirletilmiş suyu birkaç gün piramitin içinde bekletirsek, suyu arıtılmış olarak buluruz.

Süt, birkaç gün süreyle bozulmadan kalır ve sonunda yoğurt olur.

Bitkiler, piramitin içinde daha çabuk büyürler.

Piramit içine bırakılan su, 5 hafta süre ile bekletildikten sonra yüz losyonu olarak kullanılabilir.

Çöp bidonu içindeki yemek artıkları hiç koku neşretmeden piramit içinde mumyalaşır.

Kesik, yanık, sıyrık gibi yaralar büyük bir piramitin içinde daha çabuk iyileşme gösterir.

GERİ DÖN

Rastlantıların Şaşırtıcı Benzerliği

Rastlantılar insanların her zaman ilgisini çekmiştir. Raslantıların şaşırtıcı benzerliğini görmek için şu örneği inceleyelim: Bir yılda 366 gün olduğuna göre (şubatı 29 gün sayıyoruz), bir grupta doğum günleri aynı olan en az iki kişinin bulunduğundan emin olabilmemiz için, o grubun 367 kişiden oluşması gerekir. Niçin?

Ya bundan % 50 emin olmakla yetinseydik? Bir grupta aynı gün doğmuş iki kişinin bulunma olasılığının yukarıdakinin yarısı kadar olabilmesi için, grubun kaç kişiden oluşması gerekir? İlk tahmininiz, 365’in yaklaşık yarısı olan 183 olabilir. Oysa sürpriz yanıt, grubun sadece 23 kişiden oluşması gerektiğidir. Başka bir deyişle, rasgele seçilen 23 kişi içinde, % 50 olasılıkla, iki ya da daha fazla kişi aynı doğum gününü paylaşacaktır.
Buna inanmakta zorlananlar için, aşağıda bu sonucun nasıl elde edildiğini kısaca gösterelim:

Çarpım prensibine göre, beş tarihi seçebilmek için (365x365x365x365x365=3655) yol vardır (tekrara izin verilmesi koşuluyla). Fakat 3655 yolla seçilen bu günlerin çakışmaması, ancak şu şekilde mümkündür: (365x364x363x362x361). Bu son çarpımı (365x364x363x362x361)’i 3655 ‘e bölersek, rastgele seçilen 5 kişiden hiçbirinin doğum günleri aynı olmayacaktır. Şimdi bu olasılığı 1’den (ya da eğer yüzde hesabı yapıyorsak % 100’den) çıkardığımızda, 5 kişiden en az ikisinin doğum günlerinin aynı olduğu, tamamlayıcı olasılığı elde ederiz. 5 yerine 23 kullanarak yapacağımız benzeri bir hesap, 1/2 ya da % 50 sonucunu verir. O halde, 23 kişiden en az ikisinin ortak doğum gününe sahip olma olasılığı sözkonusudur.

Birkaç yıl önce bir televizyon şovundaki konuklardan biri bunu açıklamaya çalışmıştı. Sunucu ona inanmadı. Stüdyoda 120 izleyici bulunduğunu söyleyerek, kaç kişinin doğum gününün kendisiyle aynı olduğunu sordu. (onunki 19 Mart’tı.) Stüdyoda onunla aynı doğum gün doğmuş kimse yoktu. Bunun nedeni, herhangi bir ortak doğum gününün bulunmasının % 50 kesinlik kazanması için gerçekten de en az 23 kişi bulunması gerektiği, fakat bu durumun, belli bir doğum günü, örneğin 19 Mart için geçerli olmadığıydı. 19 Mart gibi belli bir günün, gruptan birinin doğum günü olduğundan % 50 emin olmak için, daha büyük bir grup, tam sayı vermek gerekirse 253 kişi gerekir. Bunun ispatı ise şöyledir:

Gruptan birinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı 364/365 olduğuna ve doğum günleri birbirinden bağımsız olduğuna göre, iki kişinin doğum günlerinin 19 Mart olmama olasılığı (364/365)x(364/365) ‘tir. Yani N kişinin 19 Mart’ta doğmamış olma olasılığı (364/365)N ‘dir. N=253 olduğunda, bu sonuç yaklaşık 1/2’ye eşit olur. Büylece 253 kişiden en az birinin 19 Mart’ta doğmuş olma tamamlayıcı olsaılığı da 1/2 ya da % 50 ‘dir.

Bundan çıkarılacak sonuç, gerçekleşme olasılığı düşük bir olayın olasılığının, belirli bir olayın gerçekleşme olasılığından çok daha yüksek olduğudur.

Matematik yazarı Martin Gardner, genel olaylarla belirli olaylar arasındaki farkı, üstünde alfabenin yirmialtı harfinin bulunduğu bir çarka benzeterek açıklar. Çark yüz kez döndürülüp, çıkan harfler kaydedilirse, “KEDİ” ya da “SICAK” sözcüklerinin ortaya çıkma olasılığı çok düşükken, herhangi bir sözcüğün ortaya çıkma olasılığı yüksektir.

Sonuçtaki paradoks, düşük olasılığa sahip olayların gerçekleşmeme olasılığının çok düşük olmasıdır. Öngörülen olayı kesin olarak belirlememeniz halinde, bu genel olayın gerçekleşmesi için sayısız yol vardır. Çok ender gerçekleşen öngörüler sadece belirli olanlardır.

Kaynak : "Herkes İçin Matematik" - John Allen Paulos

GERİ DÖN

BEYAZ SARAY'IN PARABOLİK BİÇİMLİ TAVANI

Çağımızın Yüksek teknoloji dünyasına bakıldığında XIX.yy.’da tasarlanan BEYAZ SARAY’da elektronik olmayan gizli bir dinleme düzeninin bulunması tuhaf gelebilir. BEYAZ SARAY’ın Heykelli Salonu’nda 1857’de Temsilciler Meclisi toplanmıştır. Temsilciler Meclisi üyesi olan John Quincy Adams, Bu salonun akustik özelliğini keşfetmiştir. Adams, belirli noktalardan salonun Öbür ucundaki konuşmaların duyulabileceğini, arkadaki insanların hiçbir şey duymadığını ve onların gürültüsünün salonun öbür ucundan duyulabilen sesi engellemediğini fark etmiştir. Adams’ın masası parabol biçimlii tavanın tam odağındaydı. Böylece meclis üyelerinin özel konuşmalarını gizlice dinliyebiliyordu.

Parabol biçimli yansıtıcılarda; ses yansıtıcıya çarparak, geri döner ve karşı yöndeki parabol biçimli yansıtıcıya doğru yönelir. İlk geldiği yola paralel bir yol izleyerek, yansıtıcının odağına çarpar. California San Francisco'daki The Exploratorium adlı yapıda herkesin kullanımına açık parabol biçimli ses yansıtıcıları vardır.

Bunu ışık için de söyleyebiliriz. Asal eksene paralel gelen ışınlar, küresel aynaya çarptıktan sonra odaktan geçer.

Bu da ses ile ışık arasındaki önemli bir benzerliktir.

Ayrıca evrende; fışkıran suyun çizdiği yay ile el fenerinin düz bir yüzeye düşen ışık demetinin şekli parabolik şekillerdir.

GERİ DÖN

BİR MATEMATİK PROBLEMİNİN UYGULANABİLİRLİĞİ ŞART MI?

Bu bildiride, matematik problemlerinin uygulanabilir olması koşulu üzerine, bazı bilim adamlarının da bu konuda düşünceleri dikkate alınarak, bir değerlendirme yapılıyor. Matematik problemlerinin önüne sert uygulanabilirlik koşulunun konulmasının matematiğin gelişmesini engelleyici bir unsur olabileceği vurgulanıyor.

Seminerlerde ve sempozyumlarda bir matematik problemi üzerine bildiri sunan konuşmacıya sorulan en yaygın sorulardan biri şu sorudur: İncelediğiniz problemin bir uygulaması varmıdır?
Bu soruyu cevaplandırmak, özellikle de genç araştırmacı konuşmacılar için, her zaman kolay olmuyor. Ele alınmış problemin matematiğin diğer problemleri arasındakı yerini ve bu problemlerle ilişkisini iyi bilmek gerekiyor. Sorunun zorluğunun bir kaynağı da her matematik probleminin kolay-kolay uygulamasının bulunmamasıdır.
Yukarıdakı soru cevaplandırılmaya çalışılırken şu husus dikkate alınabilir ki, bir matematik probleminin uygulaması derken, uygulama kavramına daha geniş anlam vererek, bu problemin çözümlenmesinden elde edilen sonuçların bu problemin dışındakı herhangi bir yerde kullanılması düşünülebilir. Kullanıldığı yere bağlı olarak değişik uygulamalar söz konusu olabilir.
1. Bir matematik probleminin en iyi uygulaması bu problemin çözümlenmesinden elde edilen sonuçların pratikde (günlük yaşamda) ve teknikde (üretimde) kullanılmasıdır. Eğer bir matematik problemi pratikdeki bir olayın matematiksel modeli olarak ortaya çıkmış ise, bu problemin uygulaması varmı sorusuna bu problem şu olayın matematiksel modelidir deyerek kolayca cevap verebiliriz.
2. Eğer bir matematik probleminin pratik uygulaması yok ise (veya bilinmiyorsa), bu problemin matematiğin dışındakı bir bilim dalında, örneğin, fizikde, astronomide, biyolojide vb. kullanılması aranabilir.
3. Eğer problemin matematiğin dışındakı hiçbir bilim dalında uygulaması yok ise (veya bilinmiyorsa), bu problemin ait olduğu matematik alanının dışındakı başka matematik alanlarında kullanılması, örneğin, problem sayılar teorisinin problemi ise onun fonksiyonlar teorisinde veya diferensiyel denklemler teorisinde kullanılması aranabilir.
4. Son olarak, bir matematik probleminin çözümlenmesinden elde edilen sonuçların bu problemin ait olduğu matematik alanının kendi içinde uygulaması aranabilir. Örneğin, problem sayılar teorisinin problemi ise onun çözümlenmesinden elde edilen sonuçların sayılar teorisinin başka bir problemi için kullanılması aranabilir.
Rus matematikçi A. N. Kolmogorov (1903-1987) kendisinin [2, s.15] kitabında yazıyor: “Kuşkusuz, matematikçilerin görevi pratiğin ısrarla ortaya koyduğu tüm problemlerle uğraşmaktır. Eğer hemen uygulaması olmasa bile herhangi problem güzel ve doğal ise, tabii, onunla da uğraşmak lazım”.
Çağdaş matematiğin türeyip yarandığı matematik dalları Öklid geometrisi ve sayılar teorisi olmuştur. Geometrinin ve sayılar teorisinin bazı problemleri ilk başta pratik ihtiyaçlardan ortaya çıksada bu problemlerin incelenmesi ve çözülmesi matematiğin mantıksal muhakeme kurallarına dayanarak gelişmiştir. Böylece, matematiğin pratikden ve herhangi dış etkenlerden bağımsız olarak gelişme ve genişleme özelliği vardır.
Sayılar teorisinin bir çok ünlü problemleri pratikde ve teknikde uygulamaya sahip değildir. Fakat matematikçilerin bu problemelri çözme çalışmaları sonucunda matematiğin bir çok büyük teorileri ve güçlü yöntemleri ortaya çıkmıştır. Bu zaman ortaya çıkmış teorilerin ve yöntemlerin bir kısmı sonradan pratikde ve bilimin (matematik de dahil) diğer alanlarında önemli uygulamalar bulmuştur.
Alman matematikçi K. F. Gauss (1777-1855) demiştir: “Bütün ilimlerin anahtarı matematikdir, matematiğin anahtarı ise sayılar teorisidir”.
Örnek olarak, sayılar teorisinin iki ünlü problemine değinelim.
Pozitif tam sayılar içinde asal sayıların dağılımını ifade eden asal sayma fonksiyonunun asimptotunu incelerken Alman matematikçi B. Riemann (1826-1866) tarafından tanımlanmış ve sonraları Riemann zeta-fonksiyonu adını almış

fonksiyonu kullanılır. fonksiyonunun tüm kompleks düzleme analitik devamı yapılabilir. Bu fonksiyonunun sıfırları noktalarında (bunlara trivial sıfırlar denir) ve bandı içinde sonsuz tane noktalarda (bunlara trivial olmayan sıfırlar denir) bulunur. Riemann’ın ünlü tahminine göre (Riemann conjecture) fonksiyonunun tüm trivial olmayan sıfırları doğrusu içinde bulunur. Riemann tahmini doğru olduğu takdirde asal sayma fonksiyonunun asimptotu için en iyi sonuç ispatlanabilir. [3] de Riemann tahmininin doğru olması koşulu altında bir takım teoremler verilmiştir. Dolayısıyla da Riemann probleminin, en az sayılar teorisi içinde, önemli uygulamaları vardır.
Öte yandan sayılar teorisinde Fransız matematikçi P. Fermat (1601-1665) tarafından ortaya konulmuş şu problem de biliniyor: iken denklemini sağlayan ve her üçü sıfırdan farklı tam sayıları yok. Çok sayıda matematikçilerin ısrarlı çabalarına rağmen bu hüküm uzun yıllar ispatlanamamıştı. Yalnızca son zamanlarda bu hükmün doğruluğu ispatlanmış sayılmaktadır. Fermat probleminin, bırakın matematiğin dışındakı alanları, sayılar teorisinin içinde bile bir uygulaması bilinmemektedir. Buna rağmen Fermat problemini çözme çabaları sonucunda matematiğin yeni teorileri ve çok güçlü yöntemleri ortaya çıkmıştır.
İngiliz matematikçi G. H. Hardy (1877-1947) kendisinin [1, s.67] kitabında yazıyor: “En iyi matematiğin büyük bölümü yararsızdır. Matematiğin çok küçük bölümü pratik yarar sağlar; o küçük bölüm de oldukça sıkıcıdır”.
Matematiğin tarihinden biliniyorki ilk başta kendisinin pratik uygulaması bilinmeyen problem sonradan beklenmedik bir şekilde pratik uygulaması olan başka problemlerin çözümlenmesinde kullanılmışdır. Örneğin, kompleks katsayılı veya katsayıları spektral parametreyi polinom ve kesirli fonksiyon olarak içeren adi diferensiyel denklemler için saçılma teorisinin ters problemleri (inverse scattering problems) ilk başta sadece matematiksel genelleştirmeler olarak ele alınıp incelenmişti. Sonraları bu problemler çok önemli uygulamalara sahip Korteweg-de Vries tipi lineer olmayan evolüsyon denklemlerin çözümlenmesinde bir araç olarak kullanıldı.
Genelde, matematiksel açıdan doğru ve tutarlı olan herbir problem tez veya geç uygulamalar buluyor. Bunun nedeni bizi kapsayan varlığın, içinde her problemin bir uygulaması bulunacak kadar zenginliği ve sonsuzluğu olasa gerek.
Üniversite matematik bölümlerinden mezunların iş bulabilmeleri ve çalışırken yararlanabilmeleri için matematik lisans ve yüksek lisans derslerinin pratikde uygulanan kısımlarına ağırlık verilmesi her ne kadar gerekli olsa da, doktora programında verilen derslerde ve doktora tez konularının seçiminde uygulanabilirlik özelliğinin şart olarak aranması iyi matematikçilerin ve iyi matematiğin ortaya çıkmasına çok ciddi engel oluşturabilir.
Sibernetik biliminin yaratıcısı ve matematikte bir takım keşifleri ile ünlü Amerikan matematikçi Norbert Wiener (1895 - 1964) kendisinin [4, s.5 ve s.343] kitabında yazıyor: “Bana, beni ilgilendiren her şeyi çalışma ve hakkında serbestçe düşünme olanağı veren Massachusetts Teknoloji Enstitüsüne çok borçluyum. Ben çok mesudum, özellikle de ona göre ki, benim çalışdiğim idarede yönetimin yukarıdan emir verdiği ve istediği problemler üzerinde çalışmak zorunda kalmadım”.
Böylece, başlıkta sorulan “Bir matematik probleminin uygulanabilirliği şart mı?” sorusuna ”Hayır, şart değildir” cevabının doğru olduğu anlaşılmaktadır.

Prof. Dr. Hüseyin HÜSEYİNOV

Atılım Üniversitesi, Matematik Bölümü
06836 İncek, Ankara
E-mail: guseinov@atilim.edu.tr

Kaynaklar

G. H. Hardy, Bir Matematikçinin Savunması (A Mathematician’s Apology), TÜBİTAK, 1994. (Türkçe çevirisi).

A. N. Kolmogorov, Matematika - Nauka i Professiya (Matematik İlimdir ve Meslektir), Nauka, Moskva, 1998. (Rusça).

E. C Titchmash, The Zeta Function of Riemann, Cambridge Univ. Press, 1930.

N. Wiener, Ya-Matematik (I Am a Matehematician), Nauka, Moskva, 1997. (Rusça çevirisi).

GERİ DÖN

Depremin Matematiği

Deprem matematiği üzerinde çalışan jeofizikçiler, deprem tahmini konusunda yanlış varsayımlarda bulunulduğunu söylüyor. Kendi sonuçlarına göre büyük bir depremin bir yerleşimi vurma fırsatı her zaman söylenegeldiği gibi artacağına, azalıyor.
Bir çok jeofizikçi bir depremin zamanını ve yerini tam olarak tahmin etmekten vazgeçmişlerse de, belli bir zaman içinde bir yerde deprem olup olmayacağı hala araştırılıyor. Varsayım, bir yerde olan son büyük depremden bu yana uzun zaman geçtiyse, yeni bir depremin daha kısa bir süre içinde olacağı doğrultusunda. Aslında mantık çok açık: Depremler oluşur, çünkü dünyanın tentonik plakalarının yavaşça sıkışması kayalar üzerinde gerilme yaratır; kayalar kırılana dek. Böylece, büyük bir deprem olasılığının zamanla nasıl "geliştiğinin" anlaşılması amacıyla yapılan sismik kayıtların analizi, gelecek bir depremin kabaca tahminini mümkün kılar.

California Üniversitesi'nden Lean Knopoff ve Didier Sornette yeni çalışmalarında bu yaklaşımla ilgili ciddi kuşkuların bulunduğunu dile getiriyor. Çalışmalarına göre, yeni depremin oluşma şansı zaman içinde artmak yerine aynı kalıyor, hatta azalıyor. Araştırmaları, gelecekteki bir olayın olasılığının geçmişteki olaylardan nasıl etkilendiğini gösteren Bayes'in kuramına dayanıyor. Sornett'e göre, bir sonraki olayın zamanının tahminini, olaylar arasındaki sürede görülen dalgalanmalar hakkında ne bilindiğine bağlı. Bu dalgalanmaların doğası ise depremler arasındaki zaman aralığı olasılığın yoğunluğuna bağlı.

Bazı bölgelerde periyodik sayılabilecek bir düzen içinde küçük depremler oluşur. Bu durumda, zaman geçtikçe deprem olasılığının artmasına yol açan basit bir olasılık yoğunluğu vardır. Ancak başka bölgelerdeyse, olasılık yoğunluğu Poisson dağılımını takip ediyor. Sornetto ve Knopoff'a göre bu durumda zaman içinde bir başka deprem olma olasılığı sabit kalıyor. Yani en son ne zaman deprem olduğunun hiç bir önemi yok. Daha da garibi, daha başka olasılık yoğunluklarının, uzun bir süre deprem olmazsa deprem oluşma ihtimalinin azalacağını gösterdiğini bulmuşlar. Araştırmacılar bu yapının, birçok fayın birbirini etkilediği bölgelere uygulanabileceğini düşünüyor.

Ancak Sornette ve Knopoff olasılık yoğunluklarının kolaylıkla yanlış hesaplanabileceğini söylüyor. Örneklem için kullanılan zaman dilimine bağlı olarak, sismik kayıtlar farklı farklı olasılık yoğunlukları verebilir. Sornette'e göre sonuç, zaman aralıklarındaki dalgalanmalar hakkında yapılan varsayımlara çok duyarlı. O'na göre jeofizikçiler, doğru olasılık yoğunluğunu bulabilmek için geniş bir alan üzerinde olabildiğince çok depremin, zamanlamasını ve merkezini incelemeliler.

Bilim ve Teknik Dergisi - Ekim 1997
www.newscientist.com/ns/970612/nquake.html

GERİ DÖN

FIBONACCI (LEONARDO FIBONACCI) VE FIBONACCI DİZİSİ

KİM BU FIBONACCI?

Pisalı Leonardo Fibonacci Rönesans öncesi Avrupa'nın en önde gelen Matematikçisidir. Fibonacci için, "Matematik'i Araplar'dan alıp, Avrupa'ya aktaran kişi" denilebilir.

Fibonacci'nin yaşamı hakkında matematik yazıları dışında pek az şey biliniyor. İlk ve en iyi bilinen kitabı Liber Abaci'nin yazıldığı 1202 tarihine bakılırsa, 1170 dolayında doğmuş olabileceği sanılıyor. Bu yönde pek kanıt olmamakla birlikte İtalya'nın Pisa kentinde doğmuş olması olasılığı var. Fibonacci henüz çocuk yaştayken, Pisa'lı bir tüccar olan babası Guglielmo, Pisalı tüccarların yaşadığı Bugia adlı Kuzey Afrika limanına Konsül olarak atanır. (Bu liman, şimdiki Bejaya'dır ve Cezayir'dedir.) Babası burada oğluna hesap öğretmesi için bir Arap hoca tutar. Fibonacci daha sonra Liber Abaci'de hocasından "Dokuz Hint Rakamının Sanatını" öğrenirken duyduğu mutluluğu anlatacaktır.

Fibonacci'nin Liber Abaci adlı kitabının yayınlandığı yıllarda, Hindu-Arap sayıları, Avrupa'da Harzemli Muhammed Bin Musa'nın eserlerinin çevirilerini okuyabilmiş bir kaç "aydın" dışında bilinmiyordu. Fibonacci, kitabında bu rakamları anlatmaya şöyle başlar: "Dokuz Hint Rakamı 9 8 7 6 5 4 3 2 1 dir. Bu dokuz rakama "0" işaretinin de eklenmesiyle, her hangi bir sayı yazılabilir."

Liber Abaci, 13.yy. Avrupasında büyük ilgi görür, çok sayıda kopya edilir ve kilisenin yasaklamasına karşın Arap sayıları İtalyan tüccarlar arasında yayılır. Kitap Kutsal Roma İmparatoru II. Frderick'in dikkatini çeker. Frederick bilime düşkün bir imparatordur. Bilim adamlarını korur. Bu nedenle kendisine Stupor Mudi (Dünya Harikası) denilmektedir. 1220 yılında Fibonacci huzura çağrılır. Frderick'in bilim adamlarından biri tarafından sınava çekilir. Sonunda Fibonacci göze girer. Yıllarca hem imparatorla, hem de imparatorun dostlarıyla yazışır. 1225 yılında yazdığı Liber Quadratornum'u (Kare Sayıların Kitabı) imparatora ithaf eder. "Diyofantus Denklemleri"ne ayrılan bu kitap Fibonacci'nin baş yapıtıdır. Her ne kadar Liber Abaci'ye çok daha dar bir çevrenin ilgisini çekerse de kitap sayılar kuramına büyük katkı getirir.

1228'de Fibonacci, Liber Abaci'yi yeniden gözden geçirir ve kitabın bu ikinci yazılımını imparatorun baş bilimcisi Michael Socott'a ithaf eder. Bu tarihten 1240 yılına kadar Fibonacci hakkında hiç bir şey bilinmiyor. 1240'ta Pisa kenti kendisine kente yaptığı hizmetlerden dolayı "20 Pisa Lirası" yıllık bağlar. Bundan sonra Matematikçimiz ne kadar yaşadı, o da bilinmiyor.

Leonardo Fibonacci, Arap Matematik'ini kullanışlı Hindu-Arap sayılarını Batı'ya tanıtmakla çok büyük bir katkıda bulundu. Ancak ilginçtir, çağımız matematikçileri Fibonacci'nin adını. daha çok, Liber Abaci'de yer alan bir problemde ortaya çıkan bir sayı dizisi nedeniyle bilirler. Dolayısıyla Fibonacci'yi anlatan bir yazıda "Fibonacci Sayıları"ndan ya da "Fibonacci Dizisi"nden söz etmemek olmaz.Bu nedenle biz de bu bölümün geri kalan kesimini bu diziye ayıracağız...

PEKİ YA NEDİR BU FIBONACCI DİZİSİ?

Liber Abaci'de yer alan problemin metni aşağı yukarı şöyle;

"Adamın biri, dört bir yanı duvarla çevrili yere bir çift tavşan koymuş. Her çift tavşanın bir ay içinde yeni bir çift tavşan peydahladığı, her yeni çiftin de erginleşmesi için bir ay gerektiği ve tavşanların ölmediği var sayılırsa, 100 ay sonunda dört duvarın arasında kaç çift tavşan olur?"

Knuth dostumuza göre, Fibonacci bu problemi kitabına biyoloji biliminde bir uygulama olsun diye ya da nüfus patlaması sorununa bir çözüm getirsin diye koymamış (Ben de aynı kanıdayım...). Toplama alıştırması olarak düşünmüş bunu, besbelli. Her neyse biraz düşününce tavşan çiftlerinin aylara göre şöyle çoğalacağı ortaya çıkıyor:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...

Yani her ay sonundaki tavşan çifti sayısı o aydan hemen önceki iki aydaki sayıların toplamına eşit.

Neyse her halde sorumuzun cevabını merak ediyorsunuz... Alın size cevap... Bakın bakalım, kaç tavşan oluşurmuş 100 ayda???

CEVAP --->>> 354.224.848.179.261.915.075 TANE TAVŞAN OLUŞUR....

FIBONACCI DİZİSİ (BİRAZ DAHA CEBİRSEL)

*** Fibonacci Dizisi'nin özelliği şu; Fibonacci Dizisindeki bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir.

FIBONACCI DİZİSİ'ni yazalım...

................1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.............

Görüldüğü gibi bir terim kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Mesela;

1+1=2 2+3=5 3+5=8 5+8=13 8+13=21 13+21=34 ......... 89+144=233 gibi.

FIBONACCI DİZİSİNİN GÖRÜLDÜĞÜ VE KULLANILDIĞI YERLER:

1) Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru taneler sayıldığında çıkan sayılar Fibonacci Dizisinin ardışık terimleridir.

2) Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir Fibonacci Dizisi mevcuttur.

3) Fibonacci Dizisinin Fark Dizisi: Fibonacci Dizisindeki ardışık terimlerin farkıyla oluşan dizi de Fibonacci Dizisidir.

4) Ömer Hayyam veya Pascal veya Binom Üçgeni: Ömer Hayyam üçgenindeki tüm katsayılar veya terimler yazılıp çapraz toplamları alındığında Fibonacci Dizisi ortaya çıkar.

5) Tavşan: Zaten sorumuz tavşanla alakalı...

6) Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu taneler soldan sağa ve sağdan sola sayıldığında çıkan sayılar, Fibonacci Dizisi'nin ardışık terimleridir.

7) Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir Fibonacci Dizisi söz konusudur; yani yaprakların diziliminde bu dizi mevcuttur. Bundan dolayı tütün bitkisi Güneş'ten en iyi şekilde güneş ışığı ve havadan en iyi şekilde Karbondioksit alarak Fotosentez'i mükemmel bir şekilde gerçekleştirir.

8) Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır.

9) MİMAR SİNAN: Mimar Sinan'ın da bir çok eserinde Fibonacci Dizisi görülmektedir. Mesela Süleymaniye ve Selimiye Camileri'nin minarelerinde bu dizi mevcuttur

FİBONACCİ SAYILARI OLAN;

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...

SAYILARINDAN ARDIŞIK OLAN İKİ SAYININ ORANI ALTIN ORANI VERİR.

BU DA FİBONACCİ SAYILARIYLA ALTIN ORANIN İLİŞKİSİNİ GÖSTERİR.

Örnek:

1597:987 = 1,6180344...

BU İFADE SONSUZDA ALTIN ORANI VERİR

GERİ DÖN

11 EYLÜL SALDIRISININ MATEMATİĞİ

Amerikalının biri 11 Eylül günü ülkeyi şoka uğratan
terörist saldırının failini matematik çözümleme
yoluyla saptamaya çalışmış. Aşağıdaki sonuçlara
varmış. Böyle fallara inanmasak da, ilginç bulduğumuz
için, aktaralım...

Saldırı tarihi: 9'uncu ayın 11'inci günü... 9 + 1 + 1 = 11

11 Eylül yılın 254'üncü günü: 2 + 5 + 4 = 11

11 Eylül'den sonra yıl sonuna 111 gün kalıyor...

İran ve Irak'ın bölge kodu 119'dur: 1 + 1 + 9 = 11

İkiz kuleler yan yana 11 rakamı gibi durmaktadır...

Kuleye vuran ilk uçağın uçuş numarası 11 idi...

New York, Birleşik Devletler'e eklenen 11'inci eyalet
idi...

New York City adında 11 harf vardır.

The Pentagon: 11 harfli...

Afghanistan: 11 harfli...

GERİ DÖN

Matematik İlginç Sorular:

1. 20 haneli herhangi bir sayinin 64. dereceden kökünü kafanizdan 2 dakikada hesaplayabilir misiniz?

2. Eski çaglarda yasayan bir filozof daima gerçekleri söylediginden krali kizdirmisti, kral filozafa ölüm cezasi verdi ve ölmeden önce filozofun zekasi ile alay etmek için ona söyle dedi : "ölmeden önce son bir cümle söylemene izin verecegim.Bu söyledgin cümle dogru çikarsa basin kesilcek , yalan çikarsa asilacaksin". Filozof bir cümle söyledi ve her iki ölümden de kurtuldu. acaba ne söyledi?

3. Bir adam esiyle bir deniz kiyisina gitti. adam denize düstü, fakat derhal hiç islanmadan karaya çikti. Bu nasıl oldu?

4. Demochares, ömrünün dötte birini çocuk olarak, beste birini delikanli olarak,üçte birini orta yasli ve 13 yilini da akli basinda olmadan geçirdi, acaba kaç yasinda öldü?

5. Havuzda bulunan bir nilüfer yapragi öyle büyümektedir ki her gün bir evvelki gün kapladigi alanin iki katini kaplamaktadir ve içinde bulundugu 25 m² lik bir havuzun yüzünü 20 günde tam olarak örtmektedir. Ayni sartlarda büyüyen 2.bir nilüferle birlikte baslamis olsalar bu havuzun yüzünü kaç günde kapatirlar?

6. 4 rakamli öyle bir sayi bulun ki çarptiginiz zaman tersi olsun?

7. Asagidaki 4 sorunla karsi karsiyasiniz , tanik için ne düsünürsünüz? 1. Suçlu ya otomobille geldi, ya da tanik yaniliyor 2. Sçlunun, suç ortagi varsa, otomobille gelmis olmasi gerekir. 3.Suçlunun suç ortagi yoksa, silahi yoktur , su çortagi varsa silahi da vardir. 4. Suçlunun silahi oldugu kesin.

8. Asagida bir seri önerme veriliyor. 1.Asagidaki önerme yanlistir. 2.Asagidaki önerme dogrudur. 3.Asagidaki önerme yanlistir. 4.Asagidaki önerme dogrudur. 5.Birinci önerme yanlistir. vardiginiz sonuç nedir? 1. önerme dogru mu yanlismi?

9. Bir kasif bir mil güneye gider, sonra doguya döner ve 1 mil ilerler , sonra da kuzeye dönüp 1 mil yol alir. bakar ki yola basladigi noktaya dönmüsür, bir ayiya ates eder , ayinin rengi nedir?

10. Bir sultan vezirini çagirtip ona söyle dedi : "Bir torpada iki kagit var , birinin üzerinde "ölüm" , digerinde ise "hayat" yaziyor. kura çekeceksin, ölüm çikarsa öldürülecek , hayat çikarsa kalacaksin." vezire daha önce Sultan 'in her iki kagida da ölüm yazdirdigi söylenmisti. siz olsaniz bu durmda ne yapardiniz?

11. 0 dan 9 a kadar olan 10 sayidan öyle iki kesir yapiniz ki ksierlerin toplami 1 olsun.

12. Herhangi 2 haneli sayiyi alip önce 20 ile çarpin, sonra da çarpima sayinin kendisini ekleyin. örnegin 13 için 373 çikar. Simdi bu toplami 481 ile çarpin. 13 için bu 131313 tür. Alinan her ab iki haneli sayisi için bu ababab seklinde çikar. Acaba neden?

13. uzadikça kisalan sey nedir?

14. çarpanlarinin toplamina esit olan 2 sayi bulunuz. ( bunlara ideal sayi denir )

15. Bir asansörün içindesiniz. asansörün halati kopuyor ve asansör olanca hiziyla serbest düsmeye basliyor. Asansör dibe çakildigi anda bütün gücünüzlehavaya ziplasaniz yaralanmadan veya ölümden kurtulabilir misiniz?

16. Bir gazeteden düsmüs bir parça görüyorsunuz. soldaki sayfanin numarasi 10 , sagdaki 27. bu gazete kaç sayfa idi?

17. Bir topolojist 7 simit satin aldi ve 3 ü hariç hepsini yedi. Geriye kaç tane kaldi?

18. Bir insanin saçlarinda 30.000 kil olabiliyorrsa, 35.000 kilisil bir kasabada , en az 2 kisinin saçinda ayni sayida kil oldugunu ispatlayin.

19. Bir kurbaga 30 m 'lik bir kuyuya düstü. her gün 3 m turmaniyor ve o gece 2 metre asagi kayiyor. Kurbaga kaç günde kuyudan çikar? ( 30 degil )

20. Elinizde 3 litrelik ve 5 litrelik iki kapla suya gidiyorsunuz. Tam tamina 4 litre su almaniz gerek. Bunu nasil yaparsiniz?

21.Tek sayida tek sayilaarla çift sayida çift sayilarin toplami, tek sayida çift sayilarla çift sayida tek sayilarin toplamina esit olabilir mi?

22. 3 ayaklı masa,sepha...vb.üç ayağının herbiri farklı uzunlukta bile olsa devrilmeden durur.NEDEN?

23. Bakkalın iki kefeli bir terazisi ve 4 adet farklı ağırlığı var.Bunlara 1 kilodan 40 kiloya kadar herşeyi tartabiliyor.Bakkalın elindeki 4 farklı ağırlık nelerdir?

24.1101013 sayısından bir kadın resmi yapabilirmisiniz?

25. Sembolik mantıkta şöyle bir formül vardır:2BV ~2B=?

Buna karşılık gelen ünlü bir ebedi yapıtın ünlü bir cümlesini söyler misiniz?

26. Bir ağaç ilk yıl boyunun 1/2 si sonraki yılboyunun 1/3 ü,sonraki yıl son boyunun 1/4ü şeklinde uzuyor.

Kaç yıl sonra ağacın ilk boyunun 4 katı olur?

27. Sokaktaki kanalizasyon kapakları neden kare değilde yuvarlaktır?

28.Gangsterlerin çogunun gerizekali oldugu bilinir. bir ganster patronunun kapisinda söyle bir kagit yazip birakmisti: "Patron, merak etme, seni evde bulamadim ama eve girip çiktigimi kimse görmedi". Bu yazida ki mantiksizlik nedir?

GERİ DÖN

MATEMATİK VE SANAT

Matematikçiler Derneği, “Mayıs 2001 Matematik Etkinlikleri” için çağrılı bir konuşma yapmamı istedi. Genelde, çağrılı konuşmalar “protokol” ‘a hitap eder. Konuşmacı, özel bir konuya girerse, o konuyla ilgisi olmayan dinleyicileri sıkar. Bundan çekinerek, açılışa gelecek kişilerin çoğunluğunu yormayacak bir konu seçmeyi düşündüm. Aklıma gelenler arasında, “matematiğin gelişimi ile bilimin ve uygarlıkların gelişimi arasındaki sıkı ilişki” önceliği almıştı. Bu zor işi hakkıyla yapabilir miydim, bilmiyorum... Ama düşünmeye ve konuşmanın kurgusunu yapmaya başlamıştım bile. Çin, mezopotamya, Nil ve Grek uygarlıklarını tarayarak modern zamanlara yaklaşıyordum. Newton’a gelince duraladım. Orta öğretim fizik derslerinde yerçekimi konusu çok güzel işlenir. Düşey, eğik ve yatay doğrultudaki hareket problemlerini “yer çekimini” hesaba katarak zarafetle çözdüğümüzü anımsıyorum. Ama yer çekimini yaratan nedeni ders kitapları söylemiyordu, biz de merak edip sormuyorduk. Biraz düşününce, bu gün bile yer çekiminin nedenini bilmediğimi gördüm. Elbette, biraz bilimsel magazin haberlerini okuyan herkes, gravitasyon konusunun fizikte esaslı bir problem olarak incelendiğini ve açıklamalar getirildiğini bilir. Ama, bu tür magazin haberiyle dinleyicilerin karşısına çıkmaya çekindim. Biraz tembellik ederek, konuyu bir fizikçi arkadaşıma sorup öğrenmeye karar verdim. Bu konuşmanın konusu, bu kararın beni karşılaştırdığı ilginç bir olayla başlayan bir düşünme sürecidir.
Hemen her üniversite yemekhanesinde akademisyenler masalarda gruplara ayrılırlar. Kalabalık yerlerde bu ayrım bölümlere göredir. Biyoloji bölümünün elemanları bir masadadır, fizik bölümünün elemanları başka bir masadadır, vb. Kalabalık olmayan yerlerde ise masalar yaş gruplarına göre ayrılır. En yaşlıların, orta yaşlıların ve gençlerin toplandığı masalar farklıdır. Böyle olması için kimse kural koymaz, sanırım bu ayrım, insan doğasında olan bir güdüyle kendiliğinden oluşuyor. Şimdi çalıştığım üniversite bu ikinci gruba girer. Masalarda yaş gruplarımıza göre otururuz. Soruyu soracağım fizikçi arkadaşım da bu masada yer alır. Bu masaya gençler hiç uğramaz.
Ertesi gün yemekte fizikçi arkadaşıma gravitasyon’ un neden oluştuğunu sordum. O, Einstein’in görecelik kuramıyla konuyu açıklamaya başlarken, masamıza hiç beklenmedik anda çok cazip bir bayan oturdu. Açıklama kesildi. Alışkanlık olduğu üzere, hoş beşten sonra, ben konuyu kaldığı yerden başlatmak istiyordum. Masaya gelen cazip bayanı dışlamış gibi olmayayım diye soruyu ona yönelttim:
“Cazibe nedir?”
Yemin ederim ki aklımda yalnızca “yerçekimi” vardı. Ama o, bizim konuşmakta olduğumuz konuyu bilmiyordu. Dolayısıyla, sorumu “yer çekimi” ya da “gravitasyon” olarak algılamadı. Belki de “cazibe” nin “gravitasyon” anlamına geldiğini bilmiyordu. O yaştakiler için böyle olması doğaldır. Yüzüme baktı ve güldü, başka bir şey söylemeye gerek duymadı. Sanki içinden,
“Aptal, işte cazibe karşında!”
der gibiydi. Yaptığım yanlışı anladım, ama iş işten geçmişti.
O andan sonra, ben cazibenin “gravitasyon” anlamını bir kenara bırakıp, onun, insanları daha çok ilgilendiren öteki anlamını düşünmeye başladım. Cazibenin öteki anlamı estetikte, güzellikte, sanatta saklıdır. Bunların matematiksel bir açıklaması varmola?
Bu tür soruların yanıtlarını önce felsefede ararız. J.King ‘in deyimiyle, felsefe derslerinde dört klasik sorunun yanıtı aranır:
Hakikat (truth) nedir?
Gerçeklik nedir?
Adalet nedir?
Güzellik nedir?
Hakikat, gerçeklik ve adalet ile ilgili sorular, klasik felsefede önemlidirler; dolayısıyla birinci sınıf konulardan sayılır. Bu nedenle, düşünce tarihi boyunca filozoflarca incelenegelmiştir. Ama estetik, klasik felsefede ikinci sınıf bir konu olarak kalmıştır. Bunun nedenlerini sorgulayan düşünürler de olmuştur. Genel kanı şudur:
“Güzellik ve sanat, titizlikle tanımlansalar bile, göreceli olarak ayrıntı sayılacak yüzeysel kavramlardır; ciddiyetle ele alınmaya değmezler.”
Düşünce dünyasından, bu görüşü destekleyen ilginç sözler seçebiliriz:
“Estetik, bir konunun var olmadığı yerde bir konu yaratma çabasıdır.”
Arthur Berger (D.W.Prall’ın Aesthetic Analysis’ in önsözü)

“Estetiğin sevimsizliği, birçoğumuzun gizliden paylaştığı bir tavırdır.”
Arthur Berger

Felsefe, çaresizliğini ilân eder:

“Estetiği bilime dönüştürme girişimlerine karşın o hala spekülâtif felsefenin bir koludur. Felsefenin bütün kolları içinde belki de en az etkili ve en az hareketli olanı odur.”
Thomas Munro (Toward Science in Aesthetics)

Bununla da yetinmez, felsefe aczini itiraf eder:
(*) “Matematik içeren bir estetik teori olamaz.”
tezini biraz daha ileriye götürüp,
(**) “Kabul edilebilir bir estetik teori yoktur.”
der. Bu tezler, Kurt Gödel’in,
“Bir sistemin tutarlılığı o sistem içinde ispat edilemez.”
ya da
Bir belitsel sistem, kendi kendisinin tutarlılığını kanıtlayamaz.
diyen ünlü Kararsızlık (Undecidability) [Tutarsızlık (Inconsistency)] İlkesi’ne benzer. (*) ya da (**) tezlerini savunanlar, bir estetik teorinin olamayacağını değil, olsa olsa, o teorinin doğruluğunun kendi içinde ispat edilemeyeceğini söylüyor olmalıdırlar. Bu durum, yalnız estetik teori için değil, diğer bütün teoriler için geçerlidir. O halde, estetik teori(ler)in yaratılmasına mantıksal engel yoktur. Bunu, matematikteki örneklerle açıklamak mümkündür.

Gödel’in sonuçları ortaya atılmadan önce, Bertrand Russell, bütün matematiğin tutarlı olduğunu; yani çelişki içermediğini kanıtlamak için çok uğraşmıştı. David Hilbert ise, aritmetiğin tutarlı ve her problemin çözülebilir olduğuna inanıyor ve ispat etmeye uğraşıyordu. Dolayısıyla Tutarsızlık İlkesi’nin ortaya çıkışının, onlarla birlikte bir çok matematikçiyi hayal kırıklığına uğrattığı bir gerçektir. Ancak, bilmemiz gereken başka bir gerçek de şudur: Bir matematiksel sistemde, belitlerden (axiom) hareket edilerek mantık kurallarıyla elde edilen bütün teoremler doğrudur. Russell’in 1902’de “The Study of Mathematics” adlı eserinde yazdığı gibi, var olan herhangi bir matematiksel sonuç, geriye doğru izlenerek, en başta kabul edilen belitlerden çıkarılabilir. Gödel’in kararsızlık ilkesi, ispatı var olan teoremleri inkâr etmemizi gerektirmez.

Öte yandan, bir kadının "Ben güzelim" demesi gerçeği ne kadar yansıtırsa, bir belitsel sistemin "Ben tutarlıyım" demesi de gerçeği o kadar yansıtır. Söz konusu kadının güzel olduğuna kendisi değil, başkası karar vermelidir. Ama o başkası, evrensel estetik değerlere sahip olmayabilir. Dolayısıyla, onun kararının doğruluğuna gene bir başkası karar vermelidir. O bir başkasının kararının doğruluğuna, gene bir başkası karar vermelidir. Bu adımlar sonsuza dek yineleneceğinden bitirilemez. Demek ki söz konusu kadının güzel olduğuna karar verilemez.

Benzer usa vurmayla, bir estetik teorinin tutarlılığına (doğruluğuna) da karar verilemeyeceği ortaya çıkar. Bir estetik teorinin tutarlılığına o sistemin kendisi değil, bir başka sistem karar vermelidir. O başka sistemin kararının doğruluğuna, gene bir başka sistem karar vermelidir. Bu süreç sonsuza dek uzayacağı için, bir estetik teorinin tutarlılığına asla karar verilemez.

Gödel’in kararsızlık ilkesi, ispatı var olan teoremleri inkâr etmemizi gerektirmez. O ilke, sistemin bütünü içindir. Bir benzetme yapmak gerekirse, evrenin yapısını bilmiyoruz diye dünya hakkında bildiklerimizden vazgeçemeyiz.
Öte yandan, estetik matematik içermez ise, hele hele bir estetik teori yoksa, iki sanat yapıtını nasıl mukayese ediyoruz. Güzeli çirkinden nasıl ayırıyoruz? Örneğin, “Selimiye camii, Süleymaniye camiinden daha güzeldir.” derken matematik kullanmıyor muyuz? Elbette kullanıyoruz. Mukayese kavramı matematiğin özüdür. Tutarlılığı kendi içinde kanıtlanabilen bir estetik teori elbette olamaz, ama bir estetik teori ve hatta estetik teoriler var olabilir. Tıpkı aritmetiğin varoluşu, geometrinin varoluşu, topolojonin varoluşu gibi...
Estetik, kimin hangi sanattan zevk aldığı ya da neden zevk aldığı gibi göreceli olarak basit sayılacak bir konu olmayı çok aşar. İnsanları, “güzellik için ve yalnızca güzellik için zor işler yapmaya iten nedenler” ile “insanları zor ama zarif matematiksel düşünceler yaratmaya iten nedenler” arasında büyük bir benzerlik vardır. Bu nedenler araştırılmaya değer. Bunu yapabilmek için sanatın, güzelliğin, estetiğin ne olduğunu ortaya koymaya çabalamalıyız.
Tabii, felsefenin yapması gereken bu zor işi yapmayı amaçlıyor değiliz. Onun yerine kolay bir işe girişerek, matematik ile sanat arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları ele alacağız. Bir matematikçi için ilk iş, düşünmeye başladığı kavramı tanımlamaktır. Kesin tanımlar, ileride doğacak kavram kargaşasını önler, düşüncelerimize doğru yol çizer. Sanatın, güzelliğin, estetiğin ne anlama geldiklerini belirleyecek tanımlarla yola çıkmalıyız. Bunun için, şimdilik felsefe bize yardımcı olamıyor. O nedenle, daha alt basamaklara inmeliyiz. Ansiklopedilere ve sözlüklere başvurabiliriz. Bütün bu başvuru kaynakları, TDK Sözlüğündeki şu bilgilerin benzerlerini verirler:
Sanat (ad) 1.Bir duygunun, tasarının ya da güzelliğin anlatımında kullanılan yöntemlerin tümü ya da bu anlatım sonucunda ortaya çıkan üstün yaratıcılık: Selimiye Camii yüksek bir sanat yapıtıdır. 2. Belli bir uygarlığın anlayış ve beğeni ölçülerine uygun olarak yaratılmış anlatım: Türk sanatı, Yunan sanatı.
Güzellik (ad) 1. Estetik bir beğeni, coşku, hoşlanma duygusu uyandıran nitelik, hüsun. 2. Ahlâksal ve düşünsel nitelikleriyle hayranlık uyandıran şey.
Estetik (ad) Sanatsal yaratının genel yasalarıyla, sanatta ve yaşamda güzelliğin kuramsal bilimi, güzel duyu, bediiyat. 2. Güzelliği ve güzelliğin insan belleğindeki ve duygularındaki etkilerini konu olarak ele alan felsefe kolu, güzel duyu.

Dikkatle bakınca, bu ifadelerden biri ötekini gerektiriyor; kısır döngüye girilmiştir. Başka sözlüklerin ve ansiklopedilerin sanat için verdikleri tanımlar da bundan farklı değildir. Öte yandan, matematiksel varlıkların estetik olup olmadıklarını söyleyebilmek için, estetiğin tanımına uyup uymadıklarına bakmak gerekir. Ama, öyle görünüyor ki, ne felsefe ne de sanat, estetiği iyi tanımlamıştır. Burada iyi tanımlı olmak, matematiksel bir deyimdir ve çok önem taşır. Bir kümenin iyi tanımlı olması demek, o kümenin bütün öğelerinin eksiksiz belirlenmesi ama o kümeye hiç bir yabancı öğenin karışamaması demektir. Bunu çok özlü anlatan Osmanlıca bir deyim vardır. İyi tanım, “efradını cami, ayarını mani” olan tanımdır.
Bazı kavramların iyi tanımlarını yapmak zordur. Bu durumlarda, bilim adamları, tanım yerine betimleme yapmayı yeğlerler. Örneğin, fizikçiler gravitasyonu tanımlamaya çalışmazlar, onu betimlemenin, onun ne yaptığını açıklamanın daha doğru olduğuna inanırlar.
Biz de burada ele alacağımız “matematik” ve “sanat” kavramları için bu kolay yolu izleyeceğiz.
Matematikçi Gözüyle Bir Sanat Yapıtının Nitelikleri
Bir sanat yapıtı aşağıdakilerden birini ya da bir kaçını yapabilir. Bu nitelikler nesnel olabileceği gibi, kavramsal da olabilir.
1. Doğadaki bir varlığı taklit eder ya da onun bazı niteliklerini ifade eder.
2. Doğaya yeni bir şey ekler.
3. Doğada olan bir şeyi değiştirir.
4. Doğada olan bazı şeyleri ayrıştırır ya da birleştirir.
5. Doğada olan bir şeyle etkileşime girer.
Örneğin, bir portre, bir fotoğraf bir heykel doğanın birer taklididirler. Bir tablo doğadaki cisimleri, ışıkları ve renkleri birleştirir. Bir melodi, doğadaki sesleri ayrıştırır ve yeniden başka türlü birleştirir. Bir şiir, bir roman doğada (insanda) var olan dili ayrıştırır, birleştirir ve doğadaki varlıkla (insanla) etkileşime girer.
Peki bunları yapan her şey bir sanat mıdır? Teknolojinin son harikası diye piyasaya sürülen bir otomobil, doğada bir şeyler ayrıştırılarak, birleştirilerek yapılmıştır. Üstelik insanla ve hatta toplumla etkileşim içindedir. Ama, çoğu insan, hele hele sanatla ilgisi olanlar, bir otomobili asla bir sanat yapıtı olarak görmezler. Bunun yerine, bir parka konulmuş bir kağnı tekeri bir sanat yapıtı sayılabilir. O hâlde, sanat yapıtına yeni nitelikler eklemeliyiz:
6. Sanat yapıtı biriciktir; bir eşi daha yoktur.
Mısırdaki büyük piramit, çoğu kişiye göre bir sanat harikasıdır. Ama Manhattan’daki gökdelenlerin hiç birisi sanat yapıtı bile sayılmaz. Büyük piramit de Empire State Building de biriciktirler. Büyük piramit zor yapılmıştır. O günün koşullarının yeniden oluşturulup Büyük Piramit’in bir benzerini yapmak olanaksızdır. Ama, Empire State Building’ in aynısı her zaman ve kolayca yapılabilir. Öyleyse, sanat yapıtına şu niteliği de ekleyebiliriz:
7. Sanat yapıtının bir eşi yaratılamaz.
Erciyes dağı biriciktir; doğa onun aynısını bir daha yaratamaz. Ama onun bir sanat yapıtı olduğunu söylemiyoruz. O halde, listemiz biraz daha uzayacaktır:
8. Sanat yapıtını yaratan insandır.
Bir başka örneğe geçelim. Salvador Dali’nin “S.Antonio’nun Baştan Çıkması” adlı tablosunu herkes yaratamaz. Bunu yaratmak için, yapımcısının özel yetilerinin olması gerekiyor. Acaba, Michelangelo “Davud” heykelini bir daha yapabilir miydi? Mozart’ın “Saraydan Kız Kaçırma” operasını bir başkası da besteleyebilir miydi? Yanıtımız hayır olduğuna göre, listemize bir nitelik daha ekleyelim:
9. Sanat eserini, özel yetisi olan yapımcısından başkası yaratamaz. Yapımcısı da onu bir daha yaratamaz.
Eğitimli herhangi bir kişi Dolmabahçe Sarayı’nı bir sanat yapıtı sayarken, aynı şansı Ankara’daki Milli Kütüphane binasına vermez. Çünkü birincisi çevresiyle uyumlu bir güzellik duyumsatır, ama ikincisi bu duyguyu vermez. Demek ki, listemiz daha bitmedi:
10. Sanat yapıtı estetiktir.
Listemize sonuncu olan ama belki de hepsinden önemli olan bir nitelik daha ekleyeceğiz. Hemen hemen hiçbir sanatçının ilk yapıtları sanat dünyasına hemen kabul edilmemiştir. Ancak, sanatçı sanat dünyasına kabul edildikten sonra, o kabul görmeyen ilk yapıtları da sonrakiler kadar sanat değeri taşımaya başlar. Demek ki, bir yapıtın sanat yapıtı olup olmadığına karar verilirken, o yapıtın yukarıdaki on niteliğin çoğuna sahip olması yetmez. Yapıtın özünde olmayan bir nitelik daha gerekiyor.
11. Sanat yapıtı ya da yaratıcısı sanat dünyasına tanıtılmış olmalıdır.
Bir sanat yapıtını betimlerken, yukarıda sıralananlara yenileri eklenebilir ya da bazılarının birbirlerinden bağımsız olmadığı söylenerek liste azaltılabilir. Peşinde olduğumuz amaca ulaşmak için, bunlar şu anda çok önem taşımıyor.
Matematiğin Nitelikleri
Sanat ile matematik arasındaki ilişkiyi ortaya koyabilmek için, sanat için açıkladığımız niteliklerden hangilerinin “matematik” için de geçerli olduğunu araştırmalıyız.
Matematiksel teorilerin, yukarıda sıralanan niteliklerden çoğuna sahip olduğunu savunabilir ve hatta kanıtlayabiliriz. Dolayısıyla, matematiksel teorilerin birer sanat yapıtı olduğunu söylemek mümkündür. Ama bu kadarı yetmez. Onun sanatta olmayan başka nitelikleri de vardır.
Matematiğin sözlüklerde ve ansiklopedilerde değişik tanımlarını bir araya getirirsek, onun işlevlerini ortaya çıkarabiliriz.
1. Matematik insanlığın biricik ortak dilidir,
2. Matematik bilimdir,
3. Matematik bilimin vazgeçilmez aracıdır,
4. Matematik sanattır.
Doğanın Dili: Matematik
Matematiğin, insanlığın ortak dili olduğu yadsınamaz. Her insan saymayı, mukayese yapmayı bilir. Biraz eğitimli olanlar aritmetik işlemleri yapabilir. Parayla alış-veriş yapar, para üstünü alabilir. Tren tarifesi gibi tabloları okuyup anlayabilir. Bütün bu işlerin, her ülkede, her dilde yapılışı aynıdır. Bu anlamda, günlük yaşamda kullanılan matematik, insanlığın ortak dilidir.
Gelmiş geçmiş bütün uygarlıklar matematiğe neredeyse birincil önem vermiştir. Hemen her ülkenin eğitim sisteminde matematik öğretimi anadil öğretimi kadar önem taşır. Bunun nedeni, yalnızca, matematiğin “günlük işlere yarayan bir araç” olması değildir. Günlük yaşamın gerektirdiği matematiği, sade bir yurttaşa öğretmek için, bu kadar uzun ve zahmetli bir uğraşa gerekseme olmadığını rahatlıkla savunabiliriz. Kuşkusuz, matematik, günlük yaşamı kolaylaştırmanın çok ötesine geçer; insanlar onun farkına varsa da varmasa da o kendi başına vardır. Bilim denilen şeyi, bütün görkemiyle özünde bulundurur.
Matematiği bilimin bir aracı olarak düşünüp;
“Doğa’nın büyük kitabı yalnızca onun yazıldığı dili bilenler tarafından okunabilir; o dil matematiktir.”
diyen Galileo’ya hak vermeliyiz. Bunu hekettiren pek çok örnek gösterilerek, “Matematik doğanın esas dilidir.” tezi inançla savunulabilir:
“Matematiğin bilim için çok değerli olmasının nedeni, bilimsel yasa ve teorilerin en güzel, belki de yegane tam ifadelerinin matematiksel formüller biçiminde olmasıdır. Bir bilimsel teorinin matematiksel teori ile ifade edilmesindeki kesinlik ölçüsü, o bilimin durumunun bir ölçüsüdür.”
L.T.Moore

Matematiksel Varlıklar Keşfediliyor mu? Yaratılıyor mu?
Matematiksel varlıkların, fiziksel varlıklar gibi, insan düşüncesinden bağımsız olarak var oldukları düşüncesi Platon’a kadar gider. O görüşe göre, matematiksel varlıklar keşfedilirler. Örneğin, sayılar doğada zaten vardı ve keşfedilmeyi bekliyorlardı. Birileri onları keşfedince, bilgi dünyamıza katılmış oldular.
Bunun karşıtı olan görüş ise, matematiksel varlıkların düşünceyle yaratıldığını savunur. Matematiksel varlıklar, insan düşüncesinden bağımsız varlıklar değildir. Örneğin, 5 sayısı doğada var olan fiziksel bir nesne değildir. 5 elmayı, 5 armutu, 5 sandalyeyi algılamamızı sağlayan soyut bir kavramdır. Sayılardan kümeler oluştururuz, kümeler üzerinde işlemler ve giderek yapılar (uzaylar) kurarız. Uzaylar arasında fonksiyonlar tanımlarız. Birinden ötekine dönüşümler yaparız. Bunların fiziksel uzayda karşılıkları yoktur; ya da, matematikçi bunları yaparken fiziksel karşılığının olup olmadığı sorusuyla ilgilenmez..
Bu ve benzeri örnekleri göstererek, matematiksel varlıkların zaten doğada var olduklarını ve zamanı gelince keşfedildiklerini söyleyenlere hak vermek mümkündür? Daha ileri giderek şunu sorabiliriz: Başka bir gezegende, dünyamıza benzer yaşam koşulları ve bize benzeyen canlılar varsa, acaba onların matematiği de bizimki gibi midir? Bu tür sorulara yanıt aramak, belki safsatayla uğraşmaktır. “Safsata” deyimi çok yerinde sayılmıyorsa, o soruya bu gün felsefenin ya da bilimin yanıt veremediğini söyleyebiliriz. Her iki görüşü destekleyen ya da yadsıyan örnekler bulmak zor değildir.
Kaçınılmazlık
Matematiksel bir varlığın (matematiksel bir kavram, tanım, önerme), yukarıda sanat için sayılan on bir özelikten bazılarını sağladığını söyledik. Ama, onun yanında, matematiksel yapılarda bir kaçınılmazlık, başka biçimde olamazlık vardır. Örneğin, üçgen’i doğada zaten var olan bir varlık olarak düşünenler olabileceği gibi, onu doğaya eklenen yeni bir varlık olarak da düşünenler olabilir. Hangisini kabul ederseniz edin, “Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir” diyen önermenin doğaya katılan bir varlık (kavram) olduğunu kabul edeceksiniz. Bu keşfi ya da buluşu bir başkası bir başka zamanda yapmış olsaydı, üçgen gene o üçgen ve açıları toplamı gene 180 derece olacaktı.
1,2,3,4,5,... diye saydığımız Doğal Sayılar’ı ortaya koyan bir kişiden sözetmek (ki bunu ilk kez tanımlayan İtalyan matematikçisi Guiseppe Peano (1858-1932)’dur) olanağı varsa, o kişi olmasaydı, bir başkasının doğal sayıları ortaya koyacağı tartışmasız kabul edilir. Kimilerine göre, Doğal Sayılar, zaten doğada var olan varlıklardı; insan onu sadece keşfetmiştir, tıpkı Amerika’nın keşfedilmesi ya da röntgen ışınının keşfedilmesi gibi... Öyleyse, Peano olmasaydı, bir başkası onu zaten keşfedecekti. Doğal Sayıların yaratıldığını savunanlar da şunu söylerler: O günkü bilgi (bilim) sınırı Doğal Sayılar’ın ortaya çıkmasını gerektiren bir yere ulaşmıştı. İnsanlar böyle bir alete şiddetle gerekseme duyuyurdu. Dolayısıyla, Doğal Sayılar’ın yaratılması kaçınılmaz hâle gelmişti. Peano olmasaydı, Doğal Sayılar’ı zaten bir başkası yaratacaktı. Doğal Sayılar’ı ister yaratılmış sayın, ister keşfedilmiş sayın, onu yaratan ya da keşfeden kişi başka birisi olsaydı bile, Doğal Sayılar bu günkü gibi olacaktı.
Öte yandan, “Selimiye Camii’ni Mimar Sinan olmasaydı bir başkası yaratabilir miydi?” sorusuna yukarıdaki gibi yanıt veremeyiz. Büyük olasılıkla, bir başkasının yaratacağı cami, Mimar Sinan’ın yaptığına benzemeyecekti.
Teklik
Matematiğin yarattığı ya da keşfettiği her şey biriciktir. Örneğin, dik üçgenlerin kenarları arasındaki bağıntıyı veren ünlü Pisagor Teoremi biriciktir. “Doğal Sayı” kavramı (varlığı) biriciktir. “Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir” önermesinin bir eşi daha yaratılamaz. Çünkü bu özeliği ifade eden her şey bu önermeyle özdeş olur. “Doğal Sayı” kavramı (varlığı) bir daha yaratılamaz; çünkü doğal sayıların niteliklerini taşıyan her varlık da onunla özdeş olur. Bu iş, bir sanat yapıtının kopyaları gibi yorumlanabilir mi? Peano’nun ne yaptığını bilen birisi Doğal Sayılar’ı yeniden keşfediyorsa, yaptığı iş bir kopyadır. Peano’yu bilmeden Doğal Sayıları yeniden yaratacak kişi, Amerigo Vespucci’yi (isterseniz Christoforo Columbus deyin) bilmeden Amerikayı yeniden keşfedecek acemi bir gemiciye benzer.
Matematik, Sanatın İleri ve Çok İşlevli Bir Aşamasıdır
Şimdi, konuya başka bir açıdan bakalım. Bütün insanlara doğanın yasalarını öğretmeyi amaçlamadığımıza göre, matematik öğretiminin bu denli yaygın oluşuna başka gerekçeler aramalıyız.
Bertrand Russell, insanın neden matematik öğrenmesi gerektiğini ciddî olarak incelemiş ve
“... arzu edilen şeyin sadece yaşamak olgusu olmayıp, yüce şeyler üzerinde düşünerek yaşamak sanatı olduğunun hatırlanmasında yarar vardır.”
demiştir. Eğitim ve kültür sistemlerimiz, insanların resimden, müzikten, şiirden, heykelden; kısaca sanattan zevk almasını istiyor. Bu istek, Russell’in söylediği yüce şeyler kapsamına girer.
Matematiği de bu kapsamda saymak gerektiği apaçıktır. Matematiğin, bütün insanların biricik ortak dili olduğu, günlük yaşam için yararlı olduğu, doğa olaylarını açıklayan bir dil olduğu ve kendi kendisine yeten bir bilim olduğu yadsınamaz. Ama bütün bunların ötesinde, Russell’in yüce şeyler’i arasındadır:
“Matematik bir sanattır.”
Çünkü, bir sanat dalında arayacağınız her yüce şey matematikte vardır. Ona ek olarak, liberal sanatların sahip olamadığı üstün niteliklere de sahiptir. O halde, o, sanatın ileri bir aşamasıdır.

GERİ DÖN

MATEMATİK VECİZELERİ

"Matematik eşittir hayat"

M.C.W.C.

"İnsanoğlunun değeri bir kesirle ifade edilecek olursa; payı
gerçek kişiliğini gösterir, paydası da kendisini ne zannettigini,
payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür."
TOLSTOY

"Başka herşey de oldugu gibi matemetiksel bir teori için de öyledir;
güzellik algılanabilir fakat açıklanamaz."
Cayley, Arthur

"Gerçeği aramak onu elde etmekten daha kıymetlidir."
Einstein, Albert (1879-1955)

"Hayat sadece iki şey için güzel;matematiği keşfetme ve öğretme"
Simeon Poisson

Sık sık "matematik, teoremleri isbatlamaktan ibarettir" sözünü işitiriz.
Bir yazarın temel işi cümle yazmak degil midir?
Rota, Gian-Carlo

"Aptalların sorup akılı insanların cevap veremediği pek çok soru vardır."
Polya, George (1887, 1985)

"Mekanik matematiksel ilimlerin cennetidir, çünkü kişi onunla matematiğin
meyvelerine ulaşır."

"Akıllarımız sınırlı, fakat bu sınırlılığın şartları içersinde sonsuz
olasılıklarla çevrilmişiz. İşte hayatın gayesi bu sonsuzluktan
kavrayabildiğimiz kadar çok şey kavramak."
Whitehead, Alfred North (1861 - 1947)

"Sen de biliyorsun ki biz hepimiz aynı sebepten dolayı matematikçi olduk; tembeliz."

Rosenlicht, Max (1949)

GERİ DÖN

MATEMATİKÇİLERİN 'GÜZEL' DÜNYASI

" Bir matematik problemine dalıp gitmekten daha büyük mutluluk yoktur". Böyle diyor C. Morley. Ünlü İngiliz matematikçisi G. H. Hardy ise "Bir Matematikçinin Savunması" adlı kitabında daha popüler bir görüş öne sürüyor: "Gazetelerdeki matematikle ilgili eğlence sütunlarının son derece ilgi görüşü, matematiğin o büyük çekici gücüne güzel bir örnektir. Aslında matematikten daha popüler, çok az şey vardır, insanların çoğu matematiğe belli bir değer verir, ondan hoşlanır. Tıpkı hoş bir melodiyi dinlemeyi sevdikleri gibi". Matematikten gelen o derin mutluluk, aklın dağlarına tırmanmayı göze alanlara sunulan eşsiz bir ödüldür. Mantığın sarp yollarını aşıp da doruklara varabilenler, orada büyüleyici bir manzarayla karşılaşırlar: Sislerin arasından birdenbire çıkan pırlantalardan yapılmış bir tapınak. 2500 yıldır yükselmekte olan ve son katı asla olmayacak matematik kulesidir bu.
Matematikte mutluluğu yaratan şey nedir? Önce şunu anımsayalım: Biz Homo sapiens'iz. Anlamı, düşünen ve yine düşünen insan demektir. Zamanın fırtınalarına rağmen hala ayakta kalabilmiş olan bizlerin akıl, mantık ve hayal gücüdür. Matematik yapmanın ve matematiği anlamanın önemi de buradan geliyor işte. İnsanın kendi 1400 gramlık beynine ve o beynin gizler dolu kıvrımlarına olan hayranlığını gösteriyor (maymunsu ilk atalarımızın beyni 500 gr.'dı!) Bu hayranlık, gurur ve sürprizle karışıktır: "Kimin aklına gelirdi bu? Ne inanılmaz bir bağlantı! Ne incelikli bir kanıt! Ne süssüz, ne ölümsüz bir çözüm!". Bakıyoruz, matematik tapmağının sütunlarına bazı dövizler asılmış: "Mantık kaderden daha güçlü olunca, kendisi kader olur. Thomas Mann". "Mantık bize geleceği gösteren kâhindir. Schopenhauer". "Mantıksızlıklara mantığı anlatamazsınız. Fuller". "Kuvvetli bir beyni olan, bir krallığa sahip gibidir. Seneca". "Mantığın en büyük zaferi, bize mantığın kendisinden bile şüphe etmeyi öğreten analitik düşünme biçimidir. Miguel de Unamuno".
Hayat bir bakıma anlamsız. Uzayın sonsuz karanlıklarında kısa bir süre parlayan ve bir gün sönüp gidecek bir yıldız gibiyiz. Varoluşumuzu da, yokoluşumuzu da doğa yasaları belirtiyor. İnsan kendisini hem her güce sahip, hem de bilinçsiz ve kalpsiz doğanın bir oyuncağı gibi hissediyor. Biz, doğanın "laboratuvarlarında fizik, kimya ve biyoloji yasalarına göre oluşmuş bir molekül yığını mıyız? Belki; fakat akıl taşıyan, kendini ve evreni sorgulayan bir molekül yığını. Pascal, insanın göl kenarındaki bir kamış kadar zayıf olduğunu söylüyor; fakat hemen ekliyor: "...Ama düşünen bir kamış". Yine Pascal insanın düşünmek için doğduğunu, düşünmenin onun hem bütün soyluluğu hem de değeri olduğunu söylüyor. Descartes ise cogito ergo sum (düşünüyorum, öyleyse varım) diyecek kadar düşünceyi yüceltiyor.
İnsanoğlu matematiği, insanlığını daha çok duyumsamak, beynine daha yakın olmak için seçmiştir. Burada elbette atalarımızın hayatın günlük gereksinimleri için başvurduğu çakıl sayma, parmak sayma vb. gibi pragmatik olgulardan söz etmiyoruz. O bile bir aşamaydı; maymunlara ancak birkaç sayıyı tanımak öğretilebiliyor; fakat ilk insanlar saymayı kendileri icat ettiler; kimse onlara öğretmedi.
Matematik insanın basit gereksinimlerinden doğmuş olabilir; geometrinin temelinde her yıl taşan Nil sularının altında kalan tarla sınırlarını yeniden çizmek olabilir; fakat bütün bunlar insanlığın ve dolayısıyla matematiğin çocukluğuna ait olaylardır. Daha başlangıçtan matematik soyut olduğunu göstermiştir. Arşimet spirali, Zenon paradoksu (bir ok asla hedefine varamaz) ve Apollonius konikleri (elips, parabol, hiperbol) hangi gereksinime karşılıktı? insanlık Apollonius'tan yüzyıllar sonra Kepler'le gezegenlerin Güneş çevresindeki yörüngesinin elips olduğunu ve daha sonra bazı kuyrukluyıldız yörüngelerinin parabol olduğunu öğrendi. Matematiği günlük gereksinimlere indirgemek onu çok hafife almak olur.

Matematik,Buluşlara Uygulanmak için Yapılmaz
Peki, matematik niçin yapılır? Bunu Galileo'nin ağzından dinleyelim: "Felsefe (bilim demek istiyor) gözlerimiz önünde açık duran 'evren' dediğimiz o görkemli kitapta yazılıdır. Ancak yazıldığı dili ve alfabesini öğrenmeden bu kitabı okuyamayız. Bu dil matematiktir; bu dil olmadan kitabın tek bir sözcüğünü anlamaya olanak yoktur". Laplace'ın ölmeden önceki son sözleri şunlar olmuş: "Bildiklerimiz çok değil, bilmediklerimiz çok fazla". Bütün bunlardan şöyle bir anlam çıkıyor: Biz kendimizi ve doğa'yı çok az anlıyor ve tanıyoruz. Aklımız olduğu için bir hayvan gibi yaşamıyor, hayatı ve doğayı sorguluyoruz. Bu da bir doğa yasası; su yüksekten alçağa akacak, volkanlar magma basıncı artınca püskürecek ve insan da aklı olduğu için düşünecektir. Düşündüğü için her şeyi sorgulayacaktır. İşte bu sorgulamanın dili matematiktir. Doğa insanın başına ölümsüz bir taç geçirmiştir; bu taç akıldır; o tacın en parlak pırlantası da matematiktir.
Matematikçi, kendi beyin kıvrımlarının derinliklerinde daha önce bilinmeyen topraklar bulan bir kâşiftir. Mutluluğu da yaptığı keşiftir. Matematikçinin ne istediğini Newton şöyle belirtiyor: "Dünya beni hangi gözle görür, onu bilemem. Fakat kendi gözümde ben, bilinmeyenlerin büyük okyanusu kıyısında diğerlerinden daha düzgün ve daha renkli bir deniz kabuğu arayarak eğlenen bir çocuğum". Diferansiyel hesabı ve entegrali bulan, evrenin kütle çekim yasalarını keşfeden büyük Newton böyle diyor işte. Kendisine "çocuk" deyişi çok yerinde; çünkü gerçeği arayan bir matematikçi bir çocuğun saf ve temiz ruhunu taşır; sayılarla oynarken bir çocuğun çıkarlardan uzak, yaşamın kirlerine bulaşmamış mutluluğu ve heyecanı içindedir. O, pozitronun varlığını, daha keşfedilmeden matematik formüllerde gören Dirac'tır. O, Neptün gezegenini keşfedilmeden önce matematikle bulan Adams'dır. O, Öklit dışı eğri uzay geometrisiyle Einstein'a görelilik yasaları yolunu açan Riemann'dır. O, kuaterniyonları (dördeyler) bularak mühendisliğe ivme veren Hamilton'dur. O, matrisleri bularak Heisenberg'in kuantum mekaniğini geliştirmesini sağlayan Gayley ve Sylvester'dir. Bu liste çok uzayabilir. Olasılık hesabını bulan ve geliştiren matematikçiler (pascal, Fermat, leibniz, Bernouilli, de Moivre, Bayes, Condorcet, Laplace, Ouetelet, Borel, Fisher, Kolmogorov) olmasaydı bugün bilimin her dalında uygulanan istatistik analizler yapılamaz ve büyük ölçüde olasılığa dayanan kuantum fiziği gelişemezdi. Asal sayıları bulan ve geliştiren matematikçiler (Öklid, Eratostenes, Fermat, Mersenne, Dirichlet, Wilson, Goldbach, Vinogradov) olmasaydı, bugün bankacılık, askerlik ve diplomaside kullanılan, en iyi bilgisayarların bile ancak yıllar sonra çözülebileceği 100-200 basamaklı asal sayı şifreleri var olamazdı.
Burada vurgulamak istediğimiz şudur: Matematikçi buluş yaparken pratik bir amaca yönelik değildir; bir teoremi uygulansın diye bulmaz. O kafasının içinde kendisine gerçek dünyadan ayrı bir dünya yaratmıştır. Orada somut ya da soyut aksiyomlardan yola çıkarak usavurmayla belli sonuçlara ulaşır. Aksiyomların gerçeğe uyması şart değildir; örneğin Riemam, Lobaçevski ve Bolyai, Oklit dışı geometrilerinde, Öklit gibi somut, gerçeğe uygun, herkesçe kabul edilir aksiyomlar değil, kendi yarattıkları soyut aksiyomlar'ı kullanmışlardır. Önemli olan aksiyomlardan sonuca giden yolun mantıklı olmasıdır.
Matematikçi, p ve q'nün doğruluğuyla ilgilenmez; "p gerektirir q" ile ilgilenir. Aradığı sonuca varınca bir esrime duyar. Esrime hissi psikolojide mutluluğun en üst derecesi olarak kabul edilir; bu hissin belli göstergeleri vardır; büyük bir mutlulukla beraber büyük bir aydınlanma hissi, evrenle bütünleşme, kendinden geçme ve o anı aslı unutamayış. Suyun kaldırma gücünü bir hamamda yıkanırken bulan Arşimet'in "Eureka" (Buldum) diye bağırarak saraya doğru çıplak koşması böyle bir esrime sonucudur, bu esrime hissi olmasaydı Cauchy 24 cilt tutan 789 çalışma yayımlayabilir miydi? Euler basılması 34 yıl tutan 80 cilt yazabilir miydi?
Batı uygarlığının temelinde matematik yatmaktadır. Ortaçağ karanlığı boyunca düşünmek suç sayılmış, Engizisyon akılla savaşmış, aklın tohumlan zindanlarda çürümüş ve ancak Rönesansla insanlığın ilkbaharı gelince aklın dallarında bilimin güzel çiçekleri açmıştır. Bilim ağaçları matematik toprağında büyümüşlerdir. Her matematik buluş, kendinde bir gün uygulanabilme gizilgücünü taşır.
Matematiğin Önemi
Eflatun, "matematiksiz kültür olamaz" demişti. Bugün kaç kişi böyle düşünüyor acaba? Ortaçağ karanlığında bile yıpranmayan tek bilim matematikti. Üniversitelerde ve okullarda ders programları daima matematik, geometri, astronomi ve müzik içerirdi. Son zamanlara kadar matematik, birçok köklü üniversitenin felsefe programlarının parçasını oluşturuyordu.
Ne yazık ki bugün matematiğin, uygarlığın ve kültürün temel elemanı olduğu gerçeği giderek gözden kaçıyor. Rönenasta resim, heykel, edebiyat ve felsefeyle birlikte matematiksel düşünce de 1000 yıl süren kış uykusundan uyandı. Örneğin matematikçiler ilk kez Rönesans'ta şans öğesini olasılık hesabının içine aldılar. Bunun için Rönesans beklendi; çünkü olasılık hesapları geleceği belirleye-biliyordu; oysa ortaçağ için geleceği belirleyen tek güç Tanrıydı. 19. yüzyılda Cantor'un sonsuzu matematiğe sokması tutucu çevrelerde tepkiyle karşılandı; yalnız Tanrı sonsuz olabilirdi. 17. yüzyılda Nevvton ve Leibniz'in türev, diferansiyel ve entegral hesabı (calculus) bulmaları büyük bir devrimdi; çünkü o zamana kadar matematik, hareket halindeki bir cismin belli bir andaki durumunu hesaplıyamıyordu. Mühendislik ancak calculusla mümkün oldu. Bugün dergiler, gazeteler, radyo ve TV, matematiğe (bilmeceler hariç) tıp, fizik, biyoloji vb. kadar yer vermiyorlar. Bunun bir nedeni, matematik terimlerini halka açıklamanın zor oluşudur. İnsanlar anlamadıkları şeyleri dinlemez ve okumazlar.
Matematik çok az kişinin sohbet konusu oluyor. Kim kime "Altın Oran"ı, Zeta ve Gama fonksiyonlarını, Stirling'in faktöryel formülünü öğrendin mi diye soruyor? Matematiğin kendine özgü dili, bir duvar gibi onu kendi dünyasına kapatıyor. 1997 sonunda yitirdiğimiz Prof. Cahit Arf antlarında otobüste 4-5 arkadaş bir matematik problemini coşkuyla tartışırken halkın kendilerini "mecnun" sandığından söz etmiştir.
ABD'de 3 matematik derneğinin 50.000 üyesi var. Amerikan Matematik Topluluğu'na 25.000 üye kayıtlı. Dünyada 1.500 matematik dergisi var ve her yıl 25.000 kadar matematik araştırma yazısı yayımlanıyor. Matematik son 50 yılda, 2500 yılda yarattığından fazla buluş yaptı. ABD'de bir yerleşkede matematik bölümü genellikle en büyüktür. En azından fizikçi ve ekonomist kadar matematikçi vardır. Matematikçiler her yerde hazır ve nazırdırlar. Aynı zamanda da görünmezdirler (Matematik Sanatı, J. P. King, s. 6).
Öğrencileri matematikten soğutan bir eğitim de topluma zararlı oluyor. Matematiği gençlere sevdirmek şart. Saman kâğıdına, şekilleri renksiz, berbat baskılı (bazı sayılar okunmuyor) ve paragrafsız, iç içe yazılarla yazılmış okul kitabı artık olmamalı.

Bilimlerin en hızlı değişeni matematiktir. Matematik 2000 yıllık kuramları hala geçerli olan tek bilim dalıdır. Fakat bu 2000 yıllık ağaç durmadan yeni sürgünler vermektedir; işte son yılların fraktal geometrisi, kaos teorisi, standart olmayan analiz, oyun teorisi vb. Eski dallardan olasılık kuramı, trafiğe ve iletişime uygulanıyor; uzay uçuşlarında roketlerin kalkış hızı, yakıt miktarı, yörünge ve seyir bilgileri matematik gerektiriyor. Üretim ve tüketim hızları, enflasyon, devalüasyon, borsa, faiz, büyüme hızı, kişi başına düşen gelir vb. matematiksiz olamaz. Doğal olarak matematikçi bazen bilgisayarla bütünleşiyor.
Matematiğin bu uygulamaları yanında soyut matematik de dev adımlar atıyor; çünkü matematikçiler için yarar değil, estetik önde gelir. Bertrand Russel'in dediği gibi matematikte sanatlardakine benzer bir güzellik vardır; bir teoremden "ne kadar güzel", "ne kadar zarif" diye söz ederiz. Varılan sonuç ne kadar yalın ve basit işlemlerle elde edilmişse o derece güzeldir. Matematikte karmaşıklık, istenmeyen bir şeydir. Matematik bir solucan yumağı değil, altın halkalı bir zincirdir. Bugün sonsuz sayıda irili ufaklı sonsuzlar var; oysa daha 150 yıl önce sonsuzla uğraşmak Tanrı'nın işine karışmak sayılıyordu. Bugün geometride
sonsuz boyutlu uzaylar kullanılmaktadır; yeni cebirler yaratılmıştır.
Yeni bir matematik dalı doğmuştur: Eğlence matematiği. Öğrencilere matematiği sevdirmekte bütün dünyada bu kullanılıyor. ABD'de yıllardır Journal of Recreational Mathematics (Eğlence Matematiği Dergisi) yayımlanmakta. İçinde insanı merak içinde bırakan sıra dışı problemler ve konular var. Ayrıca ABD'de Mathematical Intelligencer, Mathematical Teacher, Mathematical Gazette, Mathematical Horizons adlı popüler matematik ve Ouantum adlı popüler matematik fizik dergileri yayımlanıyor. Rusya'da 1976'dan beri aylık Kvant dergisi, Rusça olarak renkli şekillerle çok sıra dışı matematik-fizik yazıları ve problemleri veriyor. ABD Ouantum popüler matematik-fizik dergisi 1990'dan itibaren Rus-Amerikan ortak yapımı olarak tamamen İngilizce çıkıyor. Popüler bilim dergilerinden Scientific American, Discover ve Recherche her sayısında matematik mantık sorulan veriyor. Biz de Bilim ve Teknik dergisi olarak 1963'ten beri zekâ sorularına yer veriyoruz. Matematik eğlence problemleri büyük değer taşıyor; büyük matematikçilerden Hamilton, Fermat, Euler, Steiner, Lucas vb. matematik bilmeceleriyle hayli uğraşmışlardır; örneğin Euler'in Königsberg Köprüsü (7 Köprü) problemi, Haımilton'un gezi oyuncağı, Steiner'in gezici satıcı, Lucas'nm Hanoi Kulesi problemleri. Bu konuda çok ünlü diğer üç isim Amerikalı Sam Loyd ve Martin Gardner ve İngiliz Henry Dudeney'dir.
Dünyada yaklaşık 6000 kadar yaratıcı matematikçi vardır. Bu matematikçiler için matematik bir oyun gibidir. Öklid'in aksiyomları gözlemlerden türetilmiş, "doğruluğu açıkça belli" gerçeklerdi. Modern matematiğin aksiyomlarıysa tamamen soyuttur. Onları satranç kurallarına benzetebilirsiniz. Doğada ne satranç vardır, ne de modern aksiyomlar. İsterseniz satranç kurallarını değiştirebilirsiniz: üç kişiyle oynanan satranç, üç boyutlu satranç vb. Modern aksiyomlar gerçeğe dayanmamakla birlikte, satranç kuralları gibi kendi içlerinde tutarlıdırlar. Bu aksiyomlar dış dünyanın gerçeklerinden kopuksalar da kendi matematik "gerçeklerini yaratmışlardır, matematikçiler yarattıkları yeni gerçeğin mantığa tam uyup uymadığını bilemezler. 20. yüzyılda Bertrand Russell ve Hilbert, matematiği sağlam mantık temellerine dayandırmaya uğraşırlarken Gödel, matematikte kanıtlanamayacak gerçekler olduğunu göstermiştir. Kendi tutarlılığını kanıtlamak, matematiğin gücünü aşar.
Matematikte birçok kavram bir çocuğun anlayabileceği kadar basittir. Columbia Üniversitesinden Edvvard Kasner, anaokulundaki çocukların sonsuz kümeleri kolayca anladıklarını belirtmiştir. Çocuklar soyutlamaya eğilimlidir; çünkü hayalleri geniştir; masalları da bu nedenle severler. Ünlü "Alice Harikalar Diyarında" çocuk kitabının yazarı bir matematikçiydi: C. L. Dodgson ya da takma adıyla Lewis Carroll.

Matematikte Düşüncenin Zerafeti

Bir matematikçi diğerinin buluşunu "çok zarif" (elegalıt) diyerek över. Güzel bir matematik buluşu tanımlamak güzel bir insanı tanımlamak kadar zordur. Stanford Üniversitesinden Prof. George Polya bir teoremin zarifliğini şöyle tanımlıyor: "Matematikte zerafet görebildiğiniz düşüncelerin sayısıyla doğru, onları görebilmek için harcadığınız çabayla ters orantılıdır". Burada yalınlığın güzelliği vurgulanıyor. Bir filozof "basiti yaratmak deha ister" demiştir. Ünlü İngiliz matematikçisi G. H. hardy "Bir Matematikçinin Savunması" kitabında şöyle der: "Matematikçinin yarattığı şey, bir ressamın ya da şairinki kadar güze! olmalıdır. Düşünceler, renkler ve sözcükler gibi uyumlu bir biçimde birbirine uymalıdır... dünyada çirkin matematik için kalıcı bir yer yoktur". Matematik bir sanat eseridir. Şair John Keats şöyle der: "Güzellik hakikattir; hakikat de güzellik". Bertrand Russell de matematikte yalnız doğruluk değil, sanattaki gibi güzellik olduğunu vurgular. Hardy zarif bir matematik buluşun bir kare bulmaca ya da satranç problemi gibi entellektüel bir çıkmaz sokak olmaması, mutlaka diğer matematik düşünceleriyle bağlantılı ve zenginleştirilmiş olması gerektiğini söyler.
ABD'de ileri Çalışmalar Enstitüsü'nden Marston Morse özetle şöyle demiştir: "Matematik buluş mantıkla ilgili değildir. Burada sanatla matematik arasındaki bağ ortaya çıkar. Matematikçi kimsenin anlamadığı esrarlı bir güçle sonsuz desenler arasından birini seçip yeryüzüne indirir; bunda kendinin de farketmediği bir güzellik önemli rol oynar".

Matematikçinin en gelişmiş estetik hissi, müzikle ilgili olanıdır. Birçok matematikçi müzik aletleri çalar, ya da korolara, küçük orkestralara ve oda müziği gruplarına katılır. Matematiğin terimleri müziğin notaları gibidir. İkisi de güzellik yaratıcı hayal ürünleridir ve ikisinde de tek bir yanlışa bile yer yoktur. Matematik buluş aklın senfonisidir; hayaldeki güzellik sıkı bir mantık disiplini altında somutlaşmış ve sonsuzlasın ıstır. Bir matematikçi bir müzik parçasının bestecisini kolaylıkla tanır.
Matematikçi şiiri sever. Alman matematikçisi Weierstrass şöyle demiş: "Biraz da şair olmayan hiçbir matematikçi, gerçek matematikçi sayılmaz".
Birçok matematikçi satranç, briç gibi oyunlar oynar. Ancak bunlarda birinci olan azdır. Dünyada satranç şampiyonu olan iki matematikçi çıkmıştır: Emanuel Lasker ve Max Euwe. Bunun üç nedeni vardır: Önce satranç şampiyonu olmak için her gün saatlerce satranç oynamak şarttır; matematikçinin buna zamanı yoktur. İkincisi matematikçi düşünerek hatasını düzeltir; satrançta buna zaman yoktur; matematikçiler çok hızlı düşünür diye bir şey de yoktur. Hızla akıldan hesap yapmak, ancak bazı matematikçilerde görülmüştür: Gauss, Euler, Galois, von Neuman vb. Üçüncüsü, satranç şampiyonlarının hepsinde özel bir yetenek bulunmasıdır: Fotoğrafsal bellek. Şampiyon bir bakışta tahtanın tümünü görür ve onu uzun süre gözlerinin önünde canlandırabilir. Bu sayede 50-60 kişiyle gözü bağlı simültane maç yapıp kazanabilir. Bütün şampiyonlar oynadıkları bir maçın bütün hamlelerini uzun süre sonra bile anımsarlar; 9-10 hamle ötesini görebilirler. Fotoğrafsal belleği olmak koşuluyla, her matematikçi satranç şampiyonu olabilir; fakat satranç şampiyonlarının hepsi matematikçi olamazlar. Bunlar iki ayrı yetenektir. Matematikçiler matematiği bir bütün olarak görürler. Genellikle matematikçiler mühendisler kadar cisimleri gözlerinde canlandıramaz ve muhasebeciler kadar akıldan hızlı hesap yapamazlar; fakat hayal güçleri sınırsızdır. Augutus De Morgan "matematikde hayal gücü mantıktan önce gelir" demiştir.

Matematikçinin Karakteri
Matematikçilerin çoğu yalnız çalışır, grup halinde araştırma yapmazlar. Matematik makalelerinin hemen hepsi tek imzalıdır; bir azınlığı iki imzalıdır; ikiden fazla imzalı yok gibidir (tıpta da aksi; 15 imzalı makale bile vardır). Matematikçi buluş için 4 şey ister: Sakin bir oda, kütüphane, kağıt ve kalem; tabii bir de yaratıcı bir beyin. Kimyacı ve fizikçiler laboratuvara bağımlıdırlar. Belki böyle serbest oldukları için, matematikçiler genellikle çok seyahat ederler ve diğer matematikçilerle temas kurarlar. Macar asıllı Amerikan matematikçisi Paul Erdöst durmadan seyahat eden biriydi.
Matematikçiler şairlerin aksine kesin olmamaktan nefret ederler. Kesinlik matematikçinin kalite damgasıdır. Matematikçiler bizlerin bilmediği birçok şeyi bilirler; fakat çoğu, söylencesel deniz kızları gibi yalnız kendileri için şarkı söylerler; bizler için değil. Yüksek matematiğin tümünü matematik dışında olan meraklılara öğretmek için tek bir kitap yazılmamıştır daha; ancak parça paça öğreten kitaplar vardır. Neden? Matematikçi olmayanlar matematiği anlayamaz önyargısından mı? Matematiği kapalı duvarlar arasında saklamak için mi? Hiçbiri değil. Daha lisede edebiyat (sosyal) ve fen kolları ayrılır. Sosyalciler sanat ve felsefe deyince koşarlar; matematik deyince kaçışırlar; lise bitse de şu matematik belasından yakayı kurtarsak derler. Liseden sonra matematiği yanlarına uğratmamaya yeminlidirler. Birinci neden bu. ikinci nedense, matematikçilerin çoğunun kendi fildişi kulelerinde matematiğin esrikleştirici büyüsüne kapılmış olmalarıdır. Onlar matematik anlatmak değil, matematik yapmak isterler; yani matematikte buluş yapmak peşindedirler. Bir şair de kimseye şiir yazmayı öğretmeyi düşünmez. Matematikçilerin yazdıklarını yalnız kendileri ve matematikçiler (o da bazen) okurlar.
Sosyalciler için genellikle matematik taş gibi ağır, toprak gibi tatsızdır; onlar matematiği hiç düşünmezler. Mühendis ve bilimciler içinse matematik bir araç, mikroskop ya da tansiyon aleti gibi bir şeydir; işe yarar tabii. Ama o kadar. Mikroskopun güzeli mi olur?
Oysa matematikçi çok güzel şiirler yazan, ama onu anlayacak okurlar bulamayan bir şair gibidir. Matematikçi olmayanlarla arasında uçurumlar vardır.
Matematikçiler kendilerini bir sanatçı olarak görseler deki gerçekten öyledirler ne yazık ki sanatçılar onları duygusuz, mermer mantıklı insanlar olarak görürler.
Matematikçi, formülleri kara tahtaya özenle yazar. Onlara saygı duyar. Karşılarına geçip susarak onları seyreder. O sırada kafasının içinde Beethoven'in 9. senfonisi ya da Mahler'in 1. senfonisi çalıyor gibidir. Matematikçi, matematiğe tapar. Pisagorcuların sayılara taptıkları biliniyordu. Pisagorcular V2'yi (irrasyonel sayıları) tanımıyorlardı; kenarı 1 olan karenin köşegenini V2 bulunca çok şaşırmışlar. Tanrı'ların kendilerini çarptığını sanmışlar, bunu bir sır olarak saklamışlardı.
Matematiksel dünya kafanın içinde, gerçek dünya ise dışındadır. Matematikçi garip bir paradoks içindedir: Kendisi gerçek dünyada yaşar; ancak üzerinde çalıştığı nesneler o dünyada yaşamazlar; kafasının içinde yaşarlar. Bunun için çoğu kez dalgındırlar. Kafanın içinde yaşayan bir şey daha vardır: Gerçek.
Matematikçi Alfred Renyi, şöyle demişti: "İnsanın var olmayan şeyler hakkında var olanlardan daha çok şey bilmesi ne gizemli değil mi?". Matematikçi matematik hakkında gerçek dünyadan fazla şey bilir. Bazıları "Matematik insanın dışında da, kafasında da var; matematiği insan icat etmedi" diyorlar. Tartışmalı bir görüş. Doğada entegral, logaritma, türev, kök alma vb. var mı? Yok. O halde... Yalnız şu söylenebilir: "insanın kafasında doğan matematik, doğaya uygulanabilmektedir." Ama her bilimde böyle değil mi? Doğa, insan beyninin ürünü olan mantık kurallarına uygundur, bu nedenle insan mantığının ürünü olan matematik, doğaya da uygulanabilmektedir.
Matematik evrende varsa ve onu beynimize ve evrene Tanrı koyduysa neden matematik bazen yanılmıştır. Örneğin Ptolemy'nin büyük yanılgısı (Evren'in merkezi Güneş'tir). Nevvton'un ışık teorisi neden yanlıştı? Kepler neden gezegenleri çokyüzlüler içine yerleştirmeye çalıştı? Neden doğa'da yalnız doğal sayılar var; rasyonel, irrasyonel, aşkın, ondalık sayılar, loğ, in, integral türev, matris, n boyutlu uzaylar, topolojik garip şekiller vb. nerede?
Matematikteki yalın güzelliğe iki örnek verelim. Euler şu formülü bulmuştu. CİØ = Cos Ø + Sin Ø. (Ø gerçek sayı). Ø=? için SinØ=O ve CosØ= -1'den ci?= -1. Güzelliğe bakın. Matematiğin birbirinden bağımsız gözüken üç sayısı, natürel logaritmaların tabanı e, i = ?-1 ve ? nasıl bir araya geldi.
Bir başka güzellik. Öklit asal sayıların sonsuz olduğunu basitçe şöyle kanıtladı: olmayana ergi ile diyelim ki asal sayılar sonludur; p1, p2, p3... asal sayılar ve sonucu asal sayı P olsun. Hepsini çarpalım: A= (p1.p2.p3...P)+1 yazalım. A asal sayı değil (asallar bitti; hepsi parantezin içinde; orada A yok). A, parantez içi sayıların hiçbirine tam bölünemez; hep 1 artar. A asal olmadığına göre en az 2 asal çarpanı vardır ve bu asal çarpanlar parantez içindekilerden ikisi olamaz (bunların hepsi kalan olarak 1 verir ve bu yüzden A'nın asal çarpanı olamaz). Biz asal sayılar P ile bitti demiştik. Görüyoruz ki A asal değil; A'nın en az iki tam böleni vardır. A'nın en az bir asal çarpanı vardır ve bu, parantezimiz içinde değildir. O halde demek ki P'den daha büyük en az 1 asal sayı vardır. Aynı yöntem tekrarlanırsa asal sayıların sonsuz olduğu anlaşılır.
Yazımızı Büyük Alman matematikçisi Jacobi'nin şu güzel sözleriyle bitirelim: "Ben matematiği insan aklını onurlandırmak için seçtim".
Selçuk ALSAN

Kaynaklar:
Boehm, G.A.W. The New Word of Mathematics, 1959.
Boll, M., Matematik Tarihi, iletişim Yayınları, 1991.
Dönmez, A., Matematik Tarihi, 1986.
Hardy, G. H., Bir Matematikçinin Savunması, TÜBİTAK Popüler Bilik Kitapları, Ankara, 1997.
l. Asimov, Biographiç Encydopedia of Science and Technology, 1975.
King, J. P., Matematik Sanatı, TÜBİTAK Popüler bilim Kitapları, Ankara, 1997.
Sertöz, S., Matematiğin Aydınlık Dünyası, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara, 1998.
Wells, D., Matematiğin Gizli Dünyası, {Çeviri: Alsan, S.) Sarmal Yayınevi, İstanbul, 1997.
Wells, D., Geometrinin Gizli Dünyası, (Çeviri: Alsan, S.) Sarmal Yayınevi, İstanbul, 1998.
Tema Larousse, Tematik Ansiklopedi.

BİR MATEMATİK GÖNÜLLÜSÜ Dr. Selçuk ASLAN

TÜBiTAK Bilim ve Teknik Dergisi'nin tam 348 sayısına imzasını atan Doç. Dr. Selçuk Alsan 'ı, 3 Aralık 2000'de yitirdik. Uzmanlık alanı olan tıp konularının yanı sıra, satranç, matematik, hayvanlar, bitkiler, fizik, kimya, genetik, zeka oyunları gibi pek çok konuda Bilim ve Teknik dergisine hazırladığı yazılarıyla kuşaklan aydınlatan Dr. Alsan, bilimadamı olmasının yanısıra Atatürk ilkelerinden ödün vermeyen, öğretici ve yardımsever kişiliğiyle de tanınıyordu. TÜBİTAK mensuplarının Selçuk Hocası'na tüm okuyucularımız adına, bizlere öğrettiklerinden dolayı gönül dolusu teşekkürler, sevgiler ve saygılar sunuyoruz.
Bazı bilimadamlan vardır, bildiklerini herkese öğretmek için ellerinden geleni esirgemezler. Bu insanlar yaşamlarım, bilimi yaygınlaştırmak, gençlerin bilime olan susamışlığını gidermek için ayırmışlardır. Dr. Selçuk Alsan, ülkemizin bilim ordusunun kalemlerinden, bu meçhul askerlerinden biriydi.
1934 yılında Gemlik'te dünyaya merhaba dedi, ama çocukluk ve gençlik yıllan İstanbul'da, Kandilli ve Üsküdar'da geçti. Ortaköy'de Gazi Osman Paşa Ortaokulu'nda ve Kabataş Lisesi'nde okudu. 1951 'de Haydarpaşa Lisesi'nden pekiyi dereceyle mezun oldu. Zaten, ilkokulun birinci sınıfından tıp fakültesinin son sınıfına kadar 17 yıllık öğrenim yaşamında hep başarılı bir Öğrenciydi; bu basan onun yaşamında sahip olduğu ve bundan dolayı övünç duyduğu değerlerden biriydi.
1951 yılında, üniversite giriş sınavlarında Türkiye çapında en yüksek puanı aldı ve çocukluğundan beri hayalini kurduğu İstanbul üniversitesi Tıp Fakültesi'ne girdi. Altı yıl sonra, 1957 yılında genç bir doktor olarak bu okulu da pekiyi dereceyle bitiren üç kişiden biriydi Selçuk Alsan. Üniversite yıllarında, kitap alabilmek için yazlan değişik işlerde çalışır; yemeğe para harcamaz, Kızılay'ın aşevinde karnım doyurur ve bu yolla artırdığı parayı yine kitaba yatırırdı. Dr. Selçuk Alsan'ın kitap aşkı ölene değin devam etti. Evindeki tek hazinesi kitaplarıydı. Ölümünden sonra, kendi isteği doğrultusunda bu kitaplar TÜBİTAK'a bağışlandı.
Askerliğini yedek subay olarak yaptı. Daha sonra, 1959-1964 yılları arasında, ABD'de Temple Üniversitesi Albert Einstein Tıp Merkezi, New York Downstate ve Iowa Üniversiteleri'nde, iç hastalıkları dalında, beş yıl boyunca asistanlık yaptı. 1965'te de iç hastalıkları uzmanı oldu. Sonraki dört yıl Montreal'de tıp çalışmalarına devam etti. Montreal üniversitesi Deneysel Tıp Enstitüsü'nde, Prof. Hans Selye'nin yanında geçen yıllardan özel bir önemle sözederdi.
1969 yılında ülkesine dönen Dr. Alsan, 1971 yılına değin Hacettepe Üniversitesi Tıp Fakültesi iç Hastalıklar anabilim Dalı'nda öğretim görevlisi olarak çalıştı. 1971 yılında TÜBİTAK'a girdi. Bu adım Dr. Alsan'ın yaşamındaki dönüm noktasıydı; çünkü TÜBİTAK'ta tıp enformasyon uzmanı olarak çalışmasının yanısıra Bilim ve Teknik dergisine de yazılar yazacak, çeviriler yapacaktı. Dergi onun için şu anlama geliyordu: Bildiklerini, milyonlarla paylaşabileceği bir olanak. Hemen kolları sıvadı; Bilim ve Teknik dergisinin, popüler bilim yayıncılığında Türkiye'nin en önde giden yayını olmasına büyük emeği geçen editör Nüvit Osmay'ın yönlendirmesiyle Aralık 1971'de, 49. sayıda, "Niçin ve Ne Görmekteyiz?" başlıklı, Dr. Colin Biakemore'e ait makaleyi, New Scientist'den çevirdi. Dr. Alsan'ın, Bilim ve Teknik dergisindeki bu ilk yayını, genlerin ve çevrenin gelişmemizdeki göreli rolleri üzerindeki tartışmaları yakından ilgilendiren bir buluşu anlatıyordu. Dr. Alsan, sonraki 29 yıl boyunca, hatta ölene değin Bilim ve Teknik'e yazmaya devam etti. Ne büyük bir birleşmedir ki, Aralık 2000'de, derginin 397. sayısında Dr. Alsan yine gen teknolojisini yakından ilgilendiren, Science'den çevirdiği bir makaleyle okuyucularına veda ediyordu. Makalesi, "Doku Mühendisleri Kemik Oluşturuyor" başlığını taşıyordu. Bu yazısında, doku mühendisliğinin ilk büyük uygulamalarından biri olan kemik onanınım, yeni ara maddeler kullanılarak kemik büyümesinin hızlandırıldığını, gen tedavisinin, kemik oluşturma proteinlerinin ve kök hücrelerin kemik onarımındaki yerini Dr. Alsan hasta yatağından okuyucularına müjdeliyordu. Bu son yazısını l Aralık 2000'de gördü ve 3 Aralık'ta herkese veda edip gitti.
Dr. Alsan'ın mutluluğuna mutluluk katan bir olayı sizlerle paylaşmak isteriz. 1987 yılında Bilim ve Teknik dergisince düzenlenen okuyucu anketinde Selçuk Alsan'ın bilmeceler köşesi okuyucularımızın en beğendiği köşelerden biri, hatta birincisi seçildi. Selçuk Alsan, anketin sonucunu öğrendiğinde sevinçten havalara uçtu. Bir popüler bilim yazarının tadacağı, elde edeceği daha önemli ne olabilirdi ki? Okuyucusu onu birinci seçmişti. Bu sevincini herkesle paylaştı; hatta kitaplarına yazdığı biyografisinde bile Dr. Alsan bu anketin sonucuna hep yer verdi.
Yaşamım bilime, bilimsel ve edebi içerikli kitaplar yazmaya adayan Selçuk Alsan Hoca, 2000 yılının başlarında, TÜBİTAK'tan emekli olduktan sonra da TÜBİTAK Başkam Pof. Dr. N. Kemal Pak’ın teklifiyle yine kurumunda danışman olarak çalışmalarını sürdürdü, dergisinde yazılarını yazmaya, çıktığı son yolculuğuna değin devam etti. Bilim ve Teknik dergisine yıllar yılı hazırladığı bilimin hemen her konusunu ilgilendiren yazılan, bilimin hemen her konusunu ilgilendiren yazılan, satranç, dama ve bilmeceler köşeleri onu okuyucularının ve dostlarının gözünde ölümsüz kılıyor. Sana özlemle güle güle diyoruz Selçuk Hoca.
Gülgün AKBABA

BİLİM ve TEKNiK Dergisi Ocak 2001 • Sayı: 398

GERİ DÖN

OKUL MATEMATİĞİNDE NE ÖĞRETELİM? NASIL ÖĞRETELİM?

Tartışmasız, toplumun devamlılığı ve kalkınmasında eğitimin hayati önemi bugün herkesçe kabul edilmektedir. Eğitim sistemimiz içerisinde matematik eğitimi önemli bir yer tutmasına rağmen matematik eğitimini tanımlamada çoğu zaman güçlük çekeriz. Eğer matematiği, okul matematiği ve akademik matematik olarak ikiye ayırırsak, matematik eğitiminden ne anlıyoruz sorusuna daha kolay cevap verebilme imkanı bulabiliriz. Bu sınıflamada akademik matematiği kısaca matematikçilerin uğraştığı matematik olarak tanımlayabiliriz. Amacı, matematiğin ulaşmış olduğu seviyeyi kullanarak teorik ve pratik alanda matematiğe bilimsel katkıda bulunmaktır. Okul matematiği ise toplum için nasıl bir insan yetiştirmek istiyoruz sorusuna cevap ararken matematik ile ilgili ne öğretelim ve nasıl öğretelim konusu ile ilgilenir.
Bu sınıflandırmayı biraz daha aydınlatmak bakımından şunu da söylemeliyiz. Okul matematiğinin iki amacı var: Birincisi, toplumdaki büyük bir kitleyi matematik yönünden eğiterek sanayinin, teknolojinin ve günlük hayattaki diğer alanların ihtiyaç duyduğu elemanları yetiştirmek; ikincisi de akademik matematiğin alt yapısını hazırlamak, yani akademik matematikte çalışacak matematikçileri daha küçük yaşlarda bir matematikçi gibi şekillendirerek hazırlamak ve onları matematik bilimcisi olarak akadamik hayata kazandırmak. Özetlersek, matematik alanında yeni bilgi üretmek veya yeni buluşlar yapmak akademik matematiğin işi ve o bilginin genç nesillere aktarılması da okul matematiğinin işidir. Ama belirtmeliyiz ki günümüzde mevcut matematiksel bilgi birikimi okul süresince öğretilebilecek olanın kat kat üstündedir. Bu nedenle okul matematiğinde öğrencilere ancak temel kavramlar ve matematiksel bilgi edinme yolları öğretilmelidir. Bunu da başarabilmesi için okul matematiğinin her seviyede belirli müfredatı olmalıdır. Örneğin, ilk ve orta dereceli okullarda okul matematiğinin her seviyede belirli müfredatı olmalıdır. Örneğin, ilk ve orta dereceli okullarda okul matematiğinin amacı, öğrenciye istenilen matematik kültürü vermek ve arzu edilen matematik beceriler yanında matematiksel düşünme yeteneğini de geliştirmek olarak özetlenebilir.
Üniversite seviyesinde ise okul matematiğini iki farklı alanda düşünmek zorundayız. Birincisi Fen Fakültelerindeki matematik bölümlerinde okutulan matematik, ikincisi de eğitim fakültelerinin matematik eğitimi bölümlerinde okutulan matematik.
Matematik bölümlerinde okutulan matematiğin amacı öğrenciye ayrıntılı matematik bilgisi vermek, matematiksel düşünme seviyesini yükseltmek, böylece matematik biliminin dallarının farkında olan öğrenciyi bu bilim dalında araştırma yapabilecek seviyeye yükseltmek olmalıdır. Kısaca öğrenciyi matematikçi yapabilmek olmalıdır. Şüphesiz, aynı yaklaşımla bunu yüksek lisans ve doktora programları için düşünürsek, bu programlarda okutulan matematiği de okul matematiği olarak kabul edebiliriz. Ancak bu program içerisindeki matematikçinin ortaya koyduğu ürün akademik matematiğin kümesine dahil olur.
Eğitim fakültelerinde okutulan matematik ilk ve orta dereceli okullarda okutulan matematik müfredatlarına paralellik arzeden, onları kapsayan ve daha yüksek seviyede ele alan bir matematik programı olmalıdır. Yani öğretmen adayının sahip olması gereken alan bilgisini sağlayan bir matematik programı söz konusudur. Aynı karakteri sınıfına yansıtması ondan beklendiğine göre, bu programda, öğretmen adayına en azından bir matematikçi karakteri verilmelidir. Belki burada okutulan matematik teorik bakımdan matematik bölümlerinde okutulan matematikle eş değerde olmak zorunda değildir.Ancak mahiyet ve kapsamı en azından aynı düzeyde olmalıdır.
Nasıl öğrenilirse öyle öğretilir gerçeği göz önünde tutulursa, matematik eğitimi bölümündeki müfredatın ve derslerin verilişinin daha çok ayrıntılar ihtiva etmesinin zorunluluğu ortaya çıkar. Öğrendiğinin nasıl öğretildiğini öğrenen öğretmen adayı aynı ekolü gittiği okullarda devam ettirir (5). Dolayısıyla öğrendiğinin nasıl öğretildiğini aynı zamanda öğrendiği için, öğretilenin nasıl öğretildiği fakülte
Adnan BAKİ
Karadeniz Teknik Üniversitesi, Eğitim Fakültesi Öğretim Üyesi*
sırasında çok daha önem kazanır. Bunun için matematik eğitimi bölümündeki hocaların matematikçileri yanında eğitimcilikleri de aynı ölçüde önemlidir.

OKUL MATEMATİĞİNDE REFORM İHTİYACI
Yukarıda yaptığımız ayırımı hatırlamamız açısından tekrar edersek, okul matematiği, öğrenciye istenilen matematik kültürü vererek ve matematiksel düşünme yeteneği geliştirerek, toplumun ihtiyaç duyduğu teknisyen, teknokrat, mühendis ve bilim adamlarını yetiştirmeyi amaçlar. Kısaca, toplum bugün okullardan şunu bekliyor: Okullarda bütün öğrenciler matematikte belli seviyede yetişme fırsatı bulmalı, hayatımızın bir parçası olan teknolojiyi anlayabilecek şekilde bilgilendirilmeli. Şimdi burada matematikte belli bir seviyede yetişmeden ne anlıyoruz? Bundan, bir kişinin keşfetme, bulma karar verme, mantıksal çıkarımda bulunabilme ve birçok matematiksel metotları ve yöntemleri etkili bir biçimde kullanarak problem çözebilme seviyesine gelmesi için görmesi gereken eğitimi kastediyoruz. Bu amaç okul matematiğine her ülkede büyük sorumluluklar yüklemiştir.
Örneğin, 60'lı yıllarda Sputnik'ın Rusya'da uzaya fırlatılması ile birlikte Rusya ve uzayda yarışabilmek için, Amerika reform hareketleri başlatmıştır. Bunun da başlangıç noktasını okul matematiği oluşturmuştur (2). Yüksek seviyede iyi yetişmiş teknisyen, mühendis ve bilimciler ile bu yarışın mümkün olabileceğine inanan Amerika bugün hepimizin bildiği modern matematik hareketini başlatmış ve modern matematik müfredatını 60'lı yıllarda geliştirerek uygulamaya koymuştur. Türkiye'de modern matematik müfredatına 70'li yıllarda geçilmiştir.
Ama 90'lı yıllarda modern matematik müfredatının yetersizliği Amerika'da tartışılır olmuş, matematik eğitimini yükseltmek ve her kesime yaygınlaştırmak Amerikan eğitimcilerinin son yıllardaki en önemli gündemi haline gelmiştir. National Council ot Teachers of Mathematics (NCTM)'in hazırlamış olduğu rapor (4), gündemde olan bu konuyu göstermesi bakımından en çarpıcı örnektir.
Bu çalışmaya sebep olan birinci faktör, okullardan mezun olan gençlerin istenilen düzeyde veya ihtiyaç duyulan seviyede matematik bilgisine ve becerisine sahip olmamalarıydı. Mezunlar matematik yönden günlük hayatta arzu edilen fonksiyonu gösteremiyor ve iş hayatının talep ettiği nitelikte eleman olamıyordu. Bu ihtiyaca cevap vermek düşüncesi ile Amerikan eğitimcileri matematik eğitimini yükseltmek ve her kesime yaygınlaştırmak amacı ile bahsettiğimiz raporu 1989'da kaleme almışlar ve arkasından 90'lı yıllarda ülke çapında uygulamaya koymuşlardır(3).
Amerika'da eğitimciler bu raporda belirlenen amaçlar ve hedefler doğrultusunda müfredatlar ve stratejiler geliştirmek için yoğun çaba sarfetmektedir. Şüphesiz ülkemizde de aynı ihtiyaçlar mevcuttur ve bizim de müfredatlarımızı ve eğitim stratejilerimizi yeniden gözden geçirmemiz gerekmektedir. Bizim NCTM gibi güçlü bir organizasyonumuz yok, dolayısıyla müfredatın geliştirilmesi, stratejilerin belirlenmesi bizlere (üniversite ve bakanlıkta çalışan eğitimcilere) düşmektedir. Bakanlık bu konuda üniversitelerle ne derecede işbirliğine hazır, bunu bu aşamada net bir şekilde ortaya koymak mümkün değildir. Belki de bakanlıkta akla ilk gelen Amerikalı eğitimcilerin hazırladıklarını tercüme etmek olabilir, ama bu iş halletmeyecektir. Çünkü bunun bir örneğini modern matematik müfredatlarını ve kitaplarını hazırlarken yaptık. Hareketin muhtevasını amacını ve felsefesini bilmeyenler ülkemizde uzun zaman tartışılan modem matematik kaosuna sebep oldu. Kolaycılığa kaçmamız, modern matematik uygulamasında yaptığımız hatanın tekrarı olur d).
Bu da şimdiye kadar batıda matematik eğitimi reformları ile ilgili bilimsel çalışmalardan ve NCTM raporlarından yararlanmayacağımız anlamına gelmemelidir. Ülke gerçeklerimiz ve ihtiyaçlarımız göz önünde tutularak okul matematiğimiz için kendi müfredatımızı geliştirirken şüphesiz matematik eğitiminde yapılan çalışmalardan ve başta bahsettiğimiz NCTM standartlarından yararlanmamızın bilimsel açıdan da doğru olacağı kanaatindeyim. Nitekim bu çalışmada, yeni matematik müfredatımızın amaçları olarak sunduğumuz aşağıdaki dört amaç NCTM 1989 raporunun ışığı altında tespit edilmiştir. Bu amaçlar şu şekilde özetlenebilir:
1. Öğrenci matematiğe değer ver-meyi öğrenmeli
Hazırlanacak yeni matematik müfredatı, matematiğin insanlık tarihinde oynadığı rol, kültürümüzle ilişkisi ve günlük hayatımızdaki yeri hakkında öğrencinin bilinçlenmesini sağlamalı. Büyük matematikçilerin hayatları ve yaptıkları matematiksel çalışmaların bugünkü medeniyetimizin gelişmesindeki rollerini ortaya koyan örneklerin seçilerek müfredata koyulması, öğrencinin matematiğin değerini kavraması açısından çok önemlidir. Ayrıca matematik müfredatının içerdiği faaliyetlerin günlük hayat ile yakından ilişkilendirilmesi de öğrencinin matematiğe karşı olumlu tavır geliştirmesine yardım edecektir. Bir bakıma herkes matematikçi sayılır. Pazarda alışveriş yaparken, arsasını ölçerken, borsaya bakıp hissesinin değerinin artış miktarını hesaplarken, kişi bilinçli bir şekilde matematik yapıyor, matematik becerilerini ve bilgilerini kullanıyor. Bu bakış açısından hareketle yeni müfredat düzenlenmeli. Okul matematiği günlük hayat ve ilişkilendirilmeli, istatistiksel uygulamalar, veri-tabanı oluşturma ve günlük hayattan problemlerin seçilmesi gibi. Böylece, matematikle uğraşmanın hiç de yabancı olmayan bir uğraş ve insanın kaçınılmaz günlük faaliyetlerinden bin olduğu öğrenci tarafından fark edilecek ve gözönünde matematik, soyut kavramlar yığını olmaktan çıkacak, onun için korkulur değil, öğrenilmesi gerekli bir ders haline gelecektir.
2. Öğrenci matematiksel düşünmeyi öğrenmeli
Varsayımda bulunma, sonuç çıkarma, kanıt elde etme, hipotezler kurarak bunları teoremlerle destekleme becerileri matematiksel çalışmanın esaslarını oluşturur. Bu becerileri geliştirmek okul matematiğinin esas amaçlarından biri olmalıdır. Bu amacın gerçekleşmesi için öğretmen bir teoremin ispatı veya bir problemin çözümü sırasında sesli düşünmeli ve ifadelerini matematik terminolojisinden seçmeli. Öğretmen matematiksel düşünmenin önemini vurgulamalı, mantıksal çıkarım yollarını ve alternatif çözüm yollarını öğrencileri ile birlikte tartışmalı ve sadece öğretmenin matematiğini veya çözümlerini tekrar etme mahiyetinde olan ödevlerden kaçınmalı. Bu yolla öğrenci sadece öğretmenin veya kitabın doğru çözüm olmadığını bilecek ve matematiksel varsayımları sorgulama alışkanlığı kazanacaktır. Böyle bir eğitim ortamında öğrenci artık bilginin kaynağının yalnız öğretmen ve okul kitabının olmadığını kavrayacak, kendi matematik bilgisini kurabileceği başka kaynaklar aramaya yönelecektir.
3. Öğrenci matematiksel konuşmayı öğrenmeli
Okul matematiği, öğrencinin matematiksel terminolojiyi iyi kullanabilecek bir seviyeye gelmesinin sağlayacak stratejiler ve faaliyetler içermelidir. Öğrenci aktif olarak sınıf içi diyaloglara katılabilmeli. Bu yolla, öğrenci düşüncelerini uygun matematik dili kullanarak akıcı ve anlaşılır biçimde ifade etmeyi öğrenecektir. Örneğin, sınıf içi kollektif çalışmalar ve grup çalışmaları sırasında matematiksel düşüncelerin ve problemlerin tartışılması, okunması ve yazılması bu türden faaliyet ve stratejilerdir. Kişinin matematik dilini konuşabilmesi onun matematiksel düşüncesinin gelişmesine katkıda bulunacaktır. Ayrıca, problem çözümü sırasında veya bir problemin ifadesinde matematik dili kullanabilme becerisi veya fiziksel ya da sosyal bir olayı matematik kavramlarla ifade edebilme becerisi kişiyi toplumda farklı bir konuma getireceği muhakkaktır. Bu gerçek yeni müfredatın hazırlanması sırasında mutlaka ön planda tutulmalı.
4- Öğrenci iyi bir problem çözücü olarak yetiştirilmeli
Problem çözümü öyle bir yöntemdir ki onun vasıtasıyla öğrenci matematiğin gücünü keşfeder ve kullanır. Problem çözme becerisini geliştirmek için problemler öğrencinin ilgisini çeken türden olmalı. Öyle ki öğrenciyi uzun süre usandırmadan meşgul etmeli. Bunun için Piaget'nin disequilibrium teorisine uygun problemler üretilebilir. Bu tür problemlerde daha çok öğrencinin mevcut bilgi ve tecrübesi ile başlangıçta çelişkili gibi görünen yapılar vardır. Öğrenci böyle problemleri çözerken aynı zamanda önceki bilgilerinin de doğruluğunu test eder, yeni varsayımlar kurma imkanı bulur. Okul matematiğinde yer alan problemler öğrencinin o andaki seviyesinin çok altında veya çok üstünde olmamalı. Aksi durum, öğrencinin problem çözümü faaliyetine karşı ilgisinin azalmasına neden olur.
Problem öğrencinin seviyesinden çok yüksek ise, büyük bir ihtimal öğrenci problemi çözmekten vazgeçer. Bunu ünlü Rus psikolog Vigostky (6) Scaffolding benzetmesi ile açıklıyor. Problem öyle bir yerde olmalı ki öğrenci mevcut bilgilerini kullanabilsin ve bir ileri aşamayı gerektiren düşünce ve kavramlarla problemin çözümü sırasında tanışabilsin.
Çoğu zaman, seçilen problemlerin tek doğru çözümünün olmamasına veya belli formüle ya da algoritmaya dayanmamasına özen gösterilmeli. Alışılmış problemler yerine sıradan olmayan problemlere yer verilmeli. Öğretmen bu tür faaliyetlerde, teorem ispatı veya problem çözümü sırasında farklı stratejiler geliştirmeli, değişik kaynaklar ve çözüm yolları denemeli. Bunu bir örnekle açıklamaya çalışalım.

Teoremlerin ispatlarının veya problemlerin çözümlerinin böyle farklı çözüm yollarıyla öğrenciye sunulması, başlangıçta birbirinden farklı ve bağımsız olarak düşünülen matematiksel kavramların bir problem çözümü sırasından asıl iç içe 'labildiklerini öğrenciye gösterme L bakımından önemlidir. Çünkü öğrenci artık matematiği birbirinden bağımsız ilişkiler ve kurallar yerine, onu birbirine bağlı bir ilişkiler ve kavramlar ağı gibi görmeye başlayacaktır.

Sonuç

Teknolojinin iş hayatı, devlet ve endüstri üzerine etkileri doğrudan doğruya fiziksel, sosyal ve bilimsel hayatımızı da değiştirdi. Teknolojinin bilimsel hayatımızdaki etkileri matematiğin yeni bir yön kazanmasına neden oldu. Teknolojinin ilerlemesine paralel olarak matematiksel uygulamaların teknolojideki yeri de arttı. Matematiksel uygulamaların teknolojide artması matematiğin içeriğini ve ilgi alanını da değiştirdi.
Belki başlangıçta felsefi olarak kabullendiğimiz "matematiğin etrafımızdaki dünyayı anlamada bize yardım eden gizemli bir potansiyel sağladığı" gerçeğini şimdi çok açık bir şekilde görüyoruz. Ama bu dramatik değişime rağmen değişmeyen birşey var ki o da okullarda okutulan geleneksel matematik konuları ve matematiğin öğretilme şekli. Matematiğin öğretilme şekli değişmeden devam ediyor. Yüzyıllar öncesinden geldiği gibi, günümüzde de çoğunlukla matematik öğrenmenin, kural ve yöntemlerin ezberlenmesinden ibaret olduğu görülüyor.
Bugün çoğu öğretmen matematikteki başarıyı formülleri, kural ve yöntemleri anında uygun bir şekilde kullanabilme olarak görmekte, formülü veya hesaplamayı doğru icra edebilmeyi yeterli bulmaktadır. Oysa öğrenciyi üretken bir şekilde öğretmek, yalnızca onun formülleri bilmesine, hesaplamaları doğru yapmasına değil, matematiksel anlayışının ve matematiksel düşünmesinin gelişmesine bağlıdır.
Bu da okul matematiğinde usûllere değil, kavram ve ilişkilere önem vermekle mümkün olur, O halde matematikte başarı olmanın ne anlama geldiğini, matematik öğretiminin amaç ve hedeflerini yeniden tanımlamalı ve tesbit etmeliyiz. Bu yeniden tesbit ile, yarının okulları için matematikte arzu edilen uygun öğrenme sonuçlarının çevresini çizmeye çalışmalıyız. Bunu başardığımızda ancak öğrencilerimizin günlük hayattaki ihtiyaçlarını karşılamada onlara yardımcı olabileceğiz ve toplumun gelecekteki ihtiyaçlarını da cevap vermiş olacağız.

ADNAN BAKİ

KAYNAKÇA
(1) Baki, A. (1995) Arc we educating teachers in the way wc wish them to educate? 27-31 Ağustos 1995 tarihleri arasında Çeşme'de yapılan Öğretmen Eğitimi Dünya Konferansında bildiri olarak sunuldu.
(2) Hirsch, R. (1985) The Sccohdary School Mathemades Curriculum. 1985 Yearbook of NCTM. Reston.
(3) Morrow L. (1991) Implementing the Standards. Arithmetic Tcachers, 38, 21-25.
(4) National Council of Tenehcrs of Mathematics (1989) Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston.
(5) Thomson, A.G. (1992) Tcachers' bcliefs and conceptions. Handbook of Research on Mathemarics Teaching and Learning, Macmillan, New York.
(6) Vygostky, L.S. (1986) Thoughr and Language, MİT, Cambridge.

GERİ DÖN

MATEMATİK ÖĞRENMENİN KOLAY YOLU

ABD'deki bilim insanları, matematik ve fen bilimlerini öğrenmede müziğin beyin faaliyetlerine olumlu yönde etki yaptığını belirledi.

ABD'deki bilim insanları, matematik ve fen bilimlerini öğrenmede müziğin beyin faaliyetlerine olumlu yönde etki yaptığını belirledi. Atlanta kentinde yer alan Georgia Teknoloji Enstitüsü (GT) Müzik Zekâsı Laboratuarı'ndaki araştırmacılar, matematik ve fen öğrenimi sırasındaki uygun müzik desteğinin beyinde 'yapıcı kıvılcımlar' oluşturduğunu bildirdi.

Laboratuarın Hint asıllı direktörü müzik profesörü Parag Chordia, problemleri çözme sürecinin nörolojik kökenlerini araştırdıklarını belirterek, müziğin bu noktada anahtar parça olduğunu söyledi. Chordia, "İyi bir mühendis olabilmek ve işinizde son derece yenilikçi ürünler ortaya koyup bilimin ötesine uzanabilmek için yaratıcı olmanız gerekir. Müzik, bu konuda sadece bir oyalama aracı ya da ders dışı bir kavram değil, aslında zihin ve yaşam için temel bir öğe" dedi.

Chordia ve ekibi, araştırmalarında, beyinin elektrik aktivitesinin grafiksel kaydını veren elektroensefalograf (EEG) ile bazı hareketler ya da duygular sırasında beyinde hangi bölgelerin aktivite gösterdiğini saptama işlemi fMRI'yı kullandı. Bir grubun matematik eğitimi sırasında uygun tonda jazz müzik çalındı. EEG ve fMRI sonuçlarını değerlendiren bilim adamları, "gerçek zamanlı matematik yeteneğinin" müzik çalınması sırasında arttığını ve beyinin değişik bölgelerinin harekete geçtiğini tespit etti. Chordia, kullanılması gereken müzik çeşidinin, öğrenim gören kişilerin yaş gruplarına göre farklılıklar gösterdiğini kaydetti.

SES GÜZELLEŞTİREN IPHONE UYGULAMASI GELİŞTİRDİLER
Profesör Parag Chordia ve birlikte olduğu GT ekibi, hiçbir müzik yeteneği olmadığını düşünen kişilere cesaret vermek için 'ses güzelleştiren' iPhone uygulaması 'LaDiDa'yı da geliştirdi. Ses kaydını elektronikleştirerek üzerine müzik ekleyebilmeyi sağlayan uygulamayı dünyada 10 milyondan fazla kişi kullanıyor.

Chordia'nin araştırmaları, Amerikan hükümetinin, ülkedeki eğitim faaliyetlerini geliştirmek için kurduğu bir ajans olan Ulusal Bilim Kurumu (NSF) tarafından destekleniyor. CİHAN

Kaynak : www.showhaber.com

GERİ DÖN

MATEMATİKLE YAŞAMAK

Yorumlar - Yorum Yaz

KÖŞE YAZISI